座標平面上の3点 $A(-1, -2)$, $B(6, 2)$, $C(2, 5)$ を頂点とする三角形 $ABC$ がある。点 $A$ から直線 $BC$ に垂線 $AH$ を引いたときの $AH$ の長さと、三角形 $ABC$ の面積を求める。

幾何学座標平面三角形垂線距離面積直線の方程式
2025/7/16

1. 問題の内容

座標平面上の3点 A(1,2)A(-1, -2), B(6,2)B(6, 2), C(2,5)C(2, 5) を頂点とする三角形 ABCABC がある。点 AA から直線 BCBC に垂線 AHAH を引いたときの AHAH の長さと、三角形 ABCABC の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 BCBC の方程式を求める。
直線 BCBC の傾きは
m=5226=34=34m = \frac{5-2}{2-6} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}
直線 BCBC の方程式は、点 B(6,2)B(6, 2) を通るので、
y2=34(x6)y - 2 = -\frac{3}{4}(x - 6)
4y8=3x+184y - 8 = -3x + 18
3x+4y26=03x + 4y - 26 = 0
(2) 点 A(1,2)A(-1, -2) と直線 3x+4y26=03x + 4y - 26 = 0 の距離 AHAH を求める。
点と直線の距離の公式より、
AH=3(1)+4(2)2632+42=38269+16=3725=375AH = \frac{|3(-1) + 4(-2) - 26|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-3 - 8 - 26|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-37|}{\sqrt{25}} = \frac{37}{5}
(3) 三角形 ABCABC の面積を求める。
BC=(62)2+(25)2=42+(3)2=16+9=25=5BC = \sqrt{(6-2)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
三角形 ABCABC の面積は、
12×BC×AH=12×5×375=372\frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{37}{5} = \frac{37}{2}

3. 最終的な答え

AH=375AH = \frac{37}{5}
三角形 ABCABC の面積は 372\frac{37}{2}

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