三角形OABにおいて、$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}$ とおく。$|\vec{a}|=2, |\vec{a}+\vec{b}|=3, |2\vec{b}-\vec{a}|=2\sqrt{3}$ が成り立つ。線分OAを1:3に内分する点をP、線分OBを5:2に内分する点をQとし、2点P, Qを通る直線と、2点A, Bを通る直線との交点をRとする。 (1) $\vec{OR}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。 (2) 比 PQ:QR を求めよ。 (3) 三角形 OPQ の面積と、三角形 QBR の面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}$ とおく。$|\vec{a}|=2, |\vec{a}+\vec{b}|=3, |2\vec{b}-\vec{a}|=2\sqrt{3}$ が成り立つ。線分OAを1:3に内分する点をP、線分OBを5:2に内分する点をQとし、2点P, Qを通る直線と、2点A, Bを通る直線との交点をRとする。

(1) $\vec{OR}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。

(2) 比 PQ:QR を求めよ。

(3) 三角形 OPQ の面積と、三角形 QBR の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$ より、

$2^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 5$ … (1)

$|2\vec{b}-\vec{a}|^2 = (2\vec{b}-\vec{a}) \cdot (2\vec{b}-\vec{a}) = 4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12$ より、

$4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 2^2 = 12$

$4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$

$|\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ … (2)

(1) - (2) より、

$3\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

(2)に代入して、

$|\vec{b}|^2 - 1 = 2$

$|\vec{b}|^2 = 3$

$|\vec{b}| = \sqrt{3}$

点Rは直線AB上にあるので、実数sを用いて、

$\vec{AR} = s\vec{AB}$

$\vec{OR} = \vec{OA} + \vec{AR} = \vec{a} + s(\vec{b} - \vec{a}) = (1-s)\vec{a} + s\vec{b}$ … (3)

点Rは直線PQ上にあるので、実数tを用いて、

$\vec{PR} = t\vec{PQ}$

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a}$, $\vec{OQ} = \frac{5}{7}\vec{b}$ より

$\vec{OR} = \vec{OP} + \vec{PR} = \vec{OP} + t(\vec{OQ}-\vec{OP}) = \frac{1}{4}\vec{a} + t(\frac{5}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}) = (\frac{1}{4}-\frac{t}{4})\vec{a} + \frac{5t}{7}\vec{b}$ … (4)

$\vec{a}, \vec{b}$ は1次独立なので、(3), (4)の係数を比較して、

$1-s = \frac{1}{4} - \frac{t}{4}$ … (5)

$s = \frac{5t}{7}$ … (6)

(5)に(6)を代入して、

$1 - \frac{5t}{7} = \frac{1}{4} - \frac{t}{4}$

$28 - 20t = 7 - t$

$21 = 19t$

$t = \frac{21}{19}$

(6)に代入して

$s = \frac{5}{7} \cdot \frac{21}{19} = \frac{15}{19}$

(3)に代入して

$\vec{OR} = (1-\frac{15}{19})\vec{a} + \frac{15}{19}\vec{b} = \frac{4}{19}\vec{a} + \frac{15}{19}\vec{b}$

(2)

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \frac{5}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}$

$\vec{QR} = \vec{OR} - \vec{OQ} = (\frac{4}{19}\vec{a} + \frac{15}{19}\vec{b}) - \frac{5}{7}\vec{b} = \frac{4}{19}\vec{a} + (\frac{15}{19}-\frac{5}{7})\vec{b} = \frac{4}{19}\vec{a} + (\frac{105-95}{133})\vec{b} = \frac{4}{19}\vec{a} + \frac{10}{133}\vec{b}$

$\vec{PR} = t\vec{PQ} = \frac{21}{19} \vec{PQ}$ より、$\vec{QR} = \vec{PR} - \vec{PQ} = \frac{21}{19}\vec{PQ} - \vec{PQ} = \frac{2}{19}\vec{PQ}$

よって $PQ:QR = |\vec{PQ}| : |\vec{QR}| = 1 : \frac{2}{19} = 19:2$

(3)

$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角を$\theta$とすると、$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$ より、

$1 = 2\sqrt{3} \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$

三角形OPQの面積は

$\frac{1}{2}|\vec{OP}||\vec{OQ}|\sin \theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}|\vec{a}| \cdot \frac{5}{7}|\vec{b}| \sin \theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \frac{5}{7} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{33}}{6} = \frac{5\sqrt{11}}{56}$

三角形QBRの面積は

$\vec{QB} = \vec{OB} - \vec{OQ} = \vec{b} - \frac{5}{7}\vec{b} = \frac{2}{7}\vec{b}$

$\vec{QR}$であり、$|\vec{QR}| = \frac{2}{19}|\vec{PQ}|$ を計算で求めても良いが、$t = \frac{21}{19}$ を用いて、$\vec{QR} = \frac{2}{19} \vec{PQ}$

$\vec{PQ} = \frac{5}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}$ より、

$\vec{QR} = \frac{2}{19}(\frac{5}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a})$

三角形 QBR の面積 = $\frac{1}{2}|\vec{QB}||\vec{QR}|\sin \angle BQR$

ここで、$\angle BQR$は$\vec{QB}$と$\vec{QR}$のなす角である。

$\vec{QB} = \frac{2}{7} \vec{b}$, $\vec{QR} = \frac{2}{19}(\frac{5}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a})$ より

$\vec{QB} \times \vec{QR} = \frac{2}{7}\vec{b} \times \frac{2}{19}(\frac{5}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}) = \frac{4}{133} \cdot (-\frac{1}{4})\vec{b} \times \vec{a} = \frac{1}{133} \vec{a} \times \vec{b}$

三角形 QBR の面積 = $\frac{1}{2}|\vec{QB} \times \vec{QR}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{133}|\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{266}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta = \frac{1}{266} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{33}}{6} = \frac{\sqrt{11}}{133}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OR} = \frac{4}{19}\vec{a} + \frac{15}{19}\vec{b}$

(2) $PQ:QR = 19:2$

(3) 三角形OPQの面積: $\frac{5\sqrt{11}}{56}$, 三角形QBRの面積: $\frac{\sqrt{11}}{133}$