$A$は鋭角であり、$\cos A = \frac{2}{5}$のとき、$\sin A$と$\tan A$の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$A$は鋭角であり、$\cos A = \frac{2}{5}$のとき、$\sin A$と$\tan A$の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$の関係を利用して$\sin A$を求めます。

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$

$A$は鋭角なので、$\sin A > 0$です。

$\cos A = \frac{2}{5}$を代入すると、

$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{2}{5})^2}$

$\sin A = \sqrt{1 - \frac{4}{25}}$

$\sin A = \sqrt{\frac{21}{25}}$

$\sin A = \frac{\sqrt{21}}{5}$

次に、$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$の関係を利用して$\tan A$を求めます。

$\tan A = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}}$

$\tan A = \frac{\sqrt{21}}{5} \times \frac{5}{2}$

$\tan A = \frac{\sqrt{21}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin A = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan A = \frac{\sqrt{21}}{2}$