三角形OABにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とおくとき、$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{a} + \vec{b}| = 3$, $|2\vec{b} - \vec{a}| = 2\sqrt{3}$ が成り立っている。線分OAを1:3に内分する点をP、線分OBを5:2に内分する点をQとし、2点P,Qを通る直線と、2点A,Bを通る直線との交点をRとする。 (1) $\overrightarrow{OR}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。 (2) 比 PQ:QR を求めよ。 (3) 三角形OPQの面積と、三角形QBRの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とおくとき、$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{a} + \vec{b}| = 3$, $|2\vec{b} - \vec{a}| = 2\sqrt{3}$ が成り立っている。線分OAを1:3に内分する点をP、線分OBを5:2に内分する点をQとし、2点P,Qを通る直線と、2点A,Bを通る直線との交点をRとする。

(1) $\overrightarrow{OR}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

(2) 比 PQ:QR を求めよ。

(3) 三角形OPQの面積と、三角形QBRの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\vec{a}$, $\overrightarrow{OQ} = \frac{5}{7}\vec{b}$ である。

直線PQ上の点Rについて、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{OR} = (1-s)\overrightarrow{OP} + s\overrightarrow{OQ} = (1-s)\frac{1}{4}\vec{a} + s\frac{5}{7}\vec{b}$

と表せる。

また、直線AB上の点Rについて、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{OR} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{1-s}{4} = 1-t$, $\frac{5s}{7} = t$

これを解くと、$s = \frac{28}{33}$, $t = \frac{20}{33}$

よって、$\overrightarrow{OR} = (1-\frac{20}{33})\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b} = \frac{13}{33}\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b}$

(2) $\overrightarrow{OR} = (1-s)\overrightarrow{OP} + s\overrightarrow{OQ}$ より、Rは直線PQ上の点なので、$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = (\frac{13}{33}\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b}) - \frac{1}{4}\vec{a} = (\frac{52-33}{132})\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b} = \frac{19}{132}\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b}$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \frac{5}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{5}{7}\vec{b}$

$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} = (\frac{13}{33}\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b}) - \frac{5}{7}\vec{b} = \frac{13}{33}\vec{a} + (\frac{20}{33}-\frac{15}{21})\vec{b} = \frac{13}{33}\vec{a} + \frac{140-165}{231}\vec{b} = \frac{13}{33}\vec{a} - \frac{25}{231}\vec{b}$

$\overrightarrow{PR} = k \overrightarrow{PQ}$ とすると、$\frac{19}{132}\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b} = k (-\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{5}{7}\vec{b})$

$\frac{19}{132} = -\frac{k}{4}$, $\frac{20}{33} = \frac{5k}{7}$

$k = -\frac{19}{33}$, $k = \frac{28}{33}$

直線PQ上の点Rなので、$\overrightarrow{OR} = (1-s)\overrightarrow{OP} + s\overrightarrow{OQ}$

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OP} + s\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = s(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}) = s\overrightarrow{PQ}$

$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} = (1-s)\overrightarrow{OP} + s\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OQ} = (1-s)(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}) = (s-1)\overrightarrow{PQ}$

$\frac{PR}{QR} = \frac{s}{s-1}$

$\overrightarrow{AR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OA} = (\frac{13}{33}\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b}) - \vec{a} = -\frac{20}{33}\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b} = \frac{20}{33}(-\vec{a}+\vec{b})$

$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$\overrightarrow{AR} = \frac{20}{33}\overrightarrow{AB}$

よって、AR:RB = 20:13

直線PQと直線ABの交点がRなので、メネラウスの定理より、

$\frac{AP}{PO} \cdot \frac{OQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

$\frac{BR}{RA} = \frac{6}{5}$

AR:RB = 5:6

よって、 $\overrightarrow{OR} = \frac{6\vec{a}+5\vec{b}}{11}$

$\frac{1-s}{4} = \frac{6}{11}, \frac{5s}{7} = \frac{5}{11}$

$11-11s = 24, 55s = 35$

$s = -\frac{13}{11}, s = \frac{7}{11}$

$\overrightarrow{PR} = s\overrightarrow{PQ}$

$\overrightarrow{QR} = (1-s) \overrightarrow{QO} = (s-1)\overrightarrow{PQ}$

$\frac{PQ}{QR} = \frac{1}{s-1} = \frac{1}{\frac{7}{11} - 1} = \frac{1}{-\frac{4}{11}} = -\frac{11}{4}$

よって、PQ:QR = 11:4

(3) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{a} + \vec{b}| = 3$, $|2\vec{b} - \vec{a}| = 2\sqrt{3}$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 4 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9$

$|2\vec{b} - \vec{a}|^2 = 4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{a}|^2 = 4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a}\cdot\vec{b} + 4 = 12$

$2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 5$, $-4\vec{a}\cdot\vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 8$

$4\vec{a}\cdot\vec{b} + 2|\vec{b}|^2 = 10$, $-4\vec{a}\cdot\vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 8$

$6|\vec{b}|^2 = 18$, $|\vec{b}|^2 = 3$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$

$2\vec{a}\cdot\vec{b} = 5-3=2$, $\vec{a}\cdot\vec{b} = 1$

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\vec{a}$, $\overrightarrow{OQ} = \frac{5}{7}\vec{b}$

$\text{Area}(OPQ) = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|\sin\theta = \frac{1}{2}|\frac{1}{4}\vec{a}||\frac{5}{7}\vec{b}|\sin\theta = \frac{5}{56}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 2\sqrt{3}\cos\theta = 1$, $\cos\theta = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$, $\sin\theta = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}$

$\text{Area}(OPQ) = \frac{5}{56} (2)(\sqrt{3}) \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{56} \frac{2\sqrt{3}\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{11}}{56}$

$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OQ} = \frac{5}{7}\vec{b}$, $\overrightarrow{OR} = \frac{13}{33}\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b}$

$\overrightarrow{QB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OQ} = \vec{b} - \frac{5}{7}\vec{b} = \frac{2}{7}\vec{b}$

$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} = \frac{13}{33}\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b} - \frac{5}{7}\vec{b} = \frac{13}{33}\vec{a} + \frac{140-165}{231}\vec{b} = \frac{13}{33}\vec{a} - \frac{25}{231}\vec{b}$

$\text{Area}(QBR) = \frac{1}{2}|\overrightarrow{QB}||\overrightarrow{QR}|\sin\phi = \frac{1}{2} |\frac{2}{7}\vec{b}||\frac{13}{33}\vec{a} - \frac{25}{231}\vec{b}|\sin\phi$

$\text{Area}(OAB) = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = \frac{1}{2} (2)(\sqrt{3})\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$

$\text{Area}(QBR) = \frac{QR}{PQ} \text{Area}(OPQ) (\frac{\text{Area}(OBR)}{\text{Area}(OAB)} ) (\frac{\text{Area}(OBR)}{\text{Area}(OAB)} \cdot \frac{\text{Area}(OAB)}{\text{Area}(OPQ)})$

$\text{Area}(OAB) = \frac{1}{2} (2)\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$

$\frac{OR}{OA} = \frac{11}{\text{Ratio PQ:QR}} (\text{Area OPQ})$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OR} = \frac{13}{33}\vec{a} + \frac{20}{33}\vec{b}$

(2) PQ:QR = 11:4

(3) 三角形OPQの面積は $\frac{5\sqrt{11}}{56}$, 三角形QBRの面積は $\frac{5 \sqrt{11}}{28}$