三角形OABにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とおく。$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{a} + \vec{b}| = 3$, $|2\vec{b} - \vec{a}| = 2\sqrt{3}$ が成り立つ。線分OAを1:3に内分する点をP, 線分OBを5:2に内分する点をQとする。2点P, Qを通る直線と、2点A, Bを通る直線との交点をRとする。 (1) $\overrightarrow{OR}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。 (2) 比PQ:QRを求めよ。 (3) 三角形OPQの面積と、三角形QBRの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とおく。$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{a} + \vec{b}| = 3$, $|2\vec{b} - \vec{a}| = 2\sqrt{3}$ が成り立つ。線分OAを1:3に内分する点をP, 線分OBを5:2に内分する点をQとする。2点P, Qを通る直線と、2点A, Bを通る直線との交点をRとする。

(1) $\overrightarrow{OR}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。

(2) 比PQ:QRを求めよ。

(3) 三角形OPQの面積と、三角形QBRの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$|\vec{a} + \vec{b}| = 3$ より、

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 9$

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 9$

$|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9$

$4 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 5$ (1)

次に、$|2\vec{b} - \vec{a}| = 2\sqrt{3}$ より、

$|2\vec{b} - \vec{a}|^2 = 12$

$(2\vec{b} - \vec{a}) \cdot (2\vec{b} - \vec{a}) = 12$

$4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 = 12$

$4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4 = 12$

$4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$

$|\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ (2)

(1)式と(2)式より、

$2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 5$

$-\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 2$

上の式から下の式の2倍を引くと、

$3\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{3}$

これを(2)式に代入すると、

$|\vec{b}|^2 - \frac{1}{3} = 2$

$|\vec{b}|^2 = \frac{7}{3}$

$|\vec{b}| = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

PはOAを1:3に内分するので $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4} \vec{a}$

QはOBを5:2に内分するので $\overrightarrow{OQ} = \frac{5}{7} \vec{b}$

Rは直線PQ上にあるので、実数$k$を用いて、

$\overrightarrow{OR} = (1-k)\overrightarrow{OP} + k\overrightarrow{OQ} = (1-k)\frac{1}{4}\vec{a} + k\frac{5}{7}\vec{b}$

Rは直線AB上にもあるので、実数$l$を用いて、

$\overrightarrow{OR} = (1-l)\overrightarrow{OA} + l\overrightarrow{OB} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

$\frac{1-k}{4} = 1-l$ (3)

$\frac{5k}{7} = l$ (4)

(4)を(3)に代入すると、

$\frac{1-k}{4} = 1 - \frac{5k}{7}$

$7(1-k) = 28 - 20k$

$7 - 7k = 28 - 20k$

$13k = 21$

$k = \frac{21}{13}$

$l = \frac{5}{7} \times \frac{21}{13} = \frac{15}{13}$

$\overrightarrow{OR} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b} = (1-\frac{15}{13})\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b}$

(2)

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \frac{5}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}$

$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} = (-\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b}) - \frac{5}{7}\vec{b} = -\frac{2}{13}\vec{a} + (\frac{15}{13}-\frac{5}{7})\vec{b} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{105-65}{91}\vec{b} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{40}{91}\vec{b} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{40}{91}\vec{b} = \frac{8}{91}(\frac{5}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}) \times (-1)$

$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ} = (-\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b}) - \frac{5}{7}\vec{b} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{40}{91}\vec{b} = -\frac{8}{91} ( \frac{1}{4}\vec{a}-\frac{5}{7}\vec{b} )= - \frac{8}{91} ( - \overrightarrow{PQ} )$

$\overrightarrow{QR} = \frac{8}{91} (- \overrightarrow{PQ} )$

よって,

$\frac{QR}{PQ} = \frac{8}{91}$.

$PQ:QR = 91:8$

(3)

三角形OPQの面積をS1とする。

$S1 = \frac{1}{2}|\frac{1}{4}\vec{a}| |\frac{5}{7}\vec{b}| \sin \theta = \frac{5}{56}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = \frac{1}{3}$

$2|\vec{b}|\cos\theta = \frac{1}{3}$

$|\vec{b}|\cos\theta = \frac{1}{6}$

$|\vec{b}| = \frac{\sqrt{21}}{3}$なので、

$\frac{\sqrt{21}}{3} \cos \theta = \frac{1}{6}$

$\cos \theta = \frac{1}{6} \times \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{1}{2\sqrt{21}}$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{4 \times 21} = 1 - \frac{1}{84} = \frac{83}{84}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{83}{84}}$

$S1 = \frac{5}{56} \times 2 \times \frac{\sqrt{21}}{3} \sqrt{\frac{83}{84}} = \frac{5}{28} \frac{\sqrt{21}}{3} \frac{\sqrt{83}}{2\sqrt{21}} = \frac{5}{28} \times \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{83}}{2} = \frac{5 \sqrt{83}}{168}$

三角形QBRの面積をS2とする。

$\overrightarrow{OQ} = \frac{5}{7} \vec{b}, \overrightarrow{OR} = -\frac{2}{13} \vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b}$

$\overrightarrow{QB} = \vec{b} - \frac{5}{7}\vec{b} = \frac{2}{7}\vec{b}$

$\overrightarrow{QR} = -\frac{2}{13}\vec{a} + (\frac{15}{13}-\frac{5}{7})\vec{b} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{40}{91}\vec{b}$

$S2 = \frac{1}{2}| (\frac{2}{7}\vec{b} ) (-\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{40}{91}\vec{b} ) | = \frac{1}{2} | -\frac{4}{91}\vec{a}\vec{b} + \frac{80}{637}\vec{b}\vec{b} | = \frac{1}{2} | -\frac{4}{91} \times \frac{1}{3} + \frac{80}{637} \times \frac{7}{3}| = | -\frac{4}{273} + \frac{560}{1911} | = | -\frac{4}{273} + \frac{80}{273}| = \frac{1}{2} \times \frac{76}{273} = \frac{38}{273}$

または

$\frac{PQ}{QR} = \frac{91}{8}$

$\frac{S_{QBR}}{S_{OPQ}} = \frac{QR \times OB \times \sin \theta }{PQ \times OP \times OQ \times sin \theta} = \frac{QR OB}{PQ OP OQ}$

$OB = |\vec{b}| = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$OP = \frac{1}{4} |\vec{a}| = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$

$OQ = \frac{5}{7} |\vec{b}| = \frac{5}{7} \times \frac{\sqrt{21}}{3} = \frac{5 \sqrt{21}}{21}$

$\frac{S_{QBR}}{S_{OPQ}} = \frac{8}{91} \frac{ \sqrt{21}}{3} \times 2 \times \frac{21}{5\sqrt{21}} = \frac{8}{91} \frac{ \sqrt{21}}{3} \times 2 \times \frac{21}{5\sqrt{21}} = \frac{8 \times 2 \times 21 }{91 \times 3 \times 5} = \frac{336}{1365}= \frac{16}{65}$

$S2 = \frac{16}{65} \times \frac{5 \sqrt{83}}{168} = \frac{80 \sqrt{83}}{10920} = \frac{2 \sqrt{83}}{273}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OR} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b}$

(2) PQ:QR = 91:8

(3) 三角形OPQの面積: $\frac{5 \sqrt{83}}{168}$, 三角形QBRの面積: $\frac{2\sqrt{83}}{273}$