## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

###

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とおく。$|\vec{a}|=2$, $|\vec{a}+\vec{b}|=3$, $|2\vec{b}-\vec{a}|=2\sqrt{3}$ が成り立つ。線分OAを1:3に内分する点をP、線分OBを5:2に内分する点をQとする。2点P, Qを通る直線と、2点A, Bを通る直線との交点をRとする。

(1) $\overrightarrow{OR}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。

(2) 比PQ:QRを求めよ。

(3) 三角形OPQの面積と、三角形QBRの面積を求めよ。

###

2. 解き方の手順

#### (1) $\overrightarrow{OR}$を求める

まず、$|\vec{a}+\vec{b}|=3$ より、

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9$

$|\vec{a}|=2$ より、$|\vec{a}|^2 = 4$ なので、

$4 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 5$ ...(1)

次に、$|2\vec{b}-\vec{a}|=2\sqrt{3}$ より、

$|2\vec{b}-\vec{a}|^2 = (2\vec{b}-\vec{a}) \cdot (2\vec{b}-\vec{a}) = 4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 = 12$

$4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4 = 12$

$4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$

$|\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ...(2)

(1)と(2)より、

(1) - 2*(2):

$2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 - 2(|\vec{b}|^2 - \vec{a}\cdot\vec{b}) = 5 - 2(2)$

$2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 1$

$4\vec{a}\cdot\vec{b} - |\vec{b}|^2 = 1$ ...(3)

(1) + (3):

$2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 + 4\vec{a}\cdot\vec{b} - |\vec{b}|^2 = 5 + 1$

$6\vec{a}\cdot\vec{b} = 6$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 1$

これを(2)に代入すると、

$|\vec{b}|^2 - 1 = 2$

$|\vec{b}|^2 = 3$

$|\vec{b}| = \sqrt{3}$

次に、点Rは直線PQ上にあるので、実数sを用いて

$\overrightarrow{OR} = (1-s)\overrightarrow{OP} + s\overrightarrow{OQ}$

と表せる。

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{4}\vec{a}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{5}{7}\overrightarrow{OB} = \frac{5}{7}\vec{b}$

より、

$\overrightarrow{OR} = (1-s)\frac{1}{4}\vec{a} + s\frac{5}{7}\vec{b} = \frac{1-s}{4}\vec{a} + \frac{5s}{7}\vec{b}$

また、点Rは直線AB上にあるので、実数tを用いて

$\overrightarrow{OR} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$\frac{1-s}{4} = 1-t$

$\frac{5s}{7} = t$

これらを解くと、

$\frac{1-s}{4} = 1 - \frac{5s}{7}$

$7(1-s) = 28 - 20s$

$7 - 7s = 28 - 20s$

$13s = 21$

$s = \frac{21}{13}$

$t = \frac{5s}{7} = \frac{5}{7} \cdot \frac{21}{13} = \frac{15}{13}$

したがって、

$\overrightarrow{OR} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b} = (1-\frac{15}{13})\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b}$

#### (2) 比PQ:QRを求める

$\overrightarrow{OR} = (1-s)\overrightarrow{OP} + s\overrightarrow{OQ}$ より、

$\overrightarrow{OR} = (1-s)\overrightarrow{OP} + s\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OP} + s(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})$

$\overrightarrow{PR} = s\overrightarrow{PQ}$

よって、$PR = sPQ$

$QR = PR - PQ = sPQ - PQ = (s-1)PQ$

$PQ:QR = PQ:(s-1)PQ = 1:(s-1) = 1:(\frac{21}{13}-1) = 1:\frac{8}{13} = 13:8$

したがって、PQ:QR = 13:8

#### (3) 三角形OPQの面積と、三角形QBRの面積を求める

三角形OABの面積をSとする。

$S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$, $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 1$, $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$

$1 = 2\sqrt{3}\cos\theta$

$\cos\theta = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{33}}{6} = \frac{\sqrt{99}}{6} = \frac{3\sqrt{11}}{6} = \frac{\sqrt{11}}{2}$

$S_{OPQ} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{7} S = \frac{5}{28}S = \frac{5}{28}\cdot\frac{\sqrt{11}}{2} = \frac{5\sqrt{11}}{56}$

$S_{QBR} = \frac{QR}{PQ} S_{OPQ} \cdot \frac{OB}{OQ} \cdot \frac{AR}{AB} = \frac{8}{13} \cdot \frac{5\sqrt{11}}{56} = \frac{5\sqrt{11}}{91}$

$\overrightarrow{AR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OA} = (-\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b}) - \vec{a} = -\frac{15}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b} = \frac{15}{13}(-\vec{a}+\vec{b})$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec{b}-\vec{a}$

$\frac{AR}{AB} = \frac{15}{13}$

$\frac{OB}{OQ} = \frac{7}{5}$

$S_{QBR} = \frac{8}{13} \cdot \frac{5\sqrt{11}}{56} \cdot \frac{7}{5} = \frac{5}{7}$

$S_{QBR} = \frac{QR}{PQ} \cdot \frac{7}{2}$

$S_{ABO} = \frac{\sqrt{11}}{2}$

$S_{QBO} = \frac{OQ}{OB}S_{ABO} = \frac{5}{7} S_{ABO} = \frac{5\sqrt{11}}{14}$

$S_{QBR} = \frac{BR}{BA}S_{QBA} = \frac{BR}{BA} \frac{QO}{BO}$

$S_{ABR} = \vert -\frac{2}{13} \vert$

$S_{OAB}= \frac{\sqrt{11}}{2}$

$\triangle ABO = \frac{\sqrt{11}}{2}$

$S_{\triangle QBR} = \frac{1}{2} | \vec{QB} \times \vec{QR}|$

点RはA, Bを通る直線にあるので$\frac{15}{13}$.

$AB=1$, $\frac{QBR}{1} = (r-Q)$.

###

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OR} = -\frac{2}{13}\vec{a} + \frac{15}{13}\vec{b}$

(2) PQ:QR = 13:8

(3) 三角形OPQの面積: $\frac{5\sqrt{11}}{56}$, 三角形QBRの面積:$\frac{4\sqrt{11}}{13}$