$\triangle ABC$ において $AB=3$, $BC=5$, $CA=4$ とする。辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点を $D$, $\triangle ABC$ の重心を $G$ とする。また、点 $B$ を通り直線 $AG$ に垂直な直線を $l$ とし、$l$ と $AC$ の交点を $E$, $l$ と $AD$ の交点を $F$ とする。 (3) 直線 $BC$ 上に点 $P$ をとり、$t$ を実数として $\overrightarrow{AP} = (1-t) \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}$ とおく。線分 $AP$ の長さ $|\overrightarrow{AP}|$ が最小になるような $t$ の値を、次の方針1または方針2を用いて求めたい。 方針2：線分 $AP$ の長さが最小になるのは $AP \perp BC$ のときであり、$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ から、$t$ の値を求める。

はい、承知いたしました。与えられた情報から問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において $AB=3$, $BC=5$, $CA=4$ とする。辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点を $D$, $\triangle ABC$ の重心を $G$ とする。また、点 $B$ を通り直線 $AG$ に垂直な直線を $l$ とし、$l$ と $AC$ の交点を $E$, $l$ と $AD$ の交点を $F$ とする。

(3) 直線 $BC$ 上に点 $P$ をとり、$t$ を実数として $\overrightarrow{AP} = (1-t) \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}$ とおく。線分 $AP$ の長さ $|\overrightarrow{AP}|$ が最小になるような $t$ の値を、次の方針1または方針2を用いて求めたい。

方針2：線分 $AP$ の長さが最小になるのは $AP \perp BC$ のときであり、$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ から、$t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

方針2を用いて $t$ の値を求めます。

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ なので、$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ は

$((1-t) \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 0$

$(1-t) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - (1-t) |\overrightarrow{AB}|^2 + t |\overrightarrow{AC}|^2 - t \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - t \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - |\overrightarrow{AB}|^2 + t |\overrightarrow{AB}|^2 + t |\overrightarrow{AC}|^2 - t \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - |\overrightarrow{AB}|^2 + t(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) = 0$

$t = \frac{|\overrightarrow{AB}|^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}$

ここで、$\triangle ABC$ に対して余弦定理を用いると、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos A$

$5^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos A$

$25 = 9 + 16 - 24 \cos A$

$0 = -24 \cos A$

$\cos A = 0$

$A = 90^\circ$

よって、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos A = 3 \cdot 4 \cdot 0 = 0$

したがって、

$t = \frac{|\overrightarrow{AB}|^2}{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2} = \frac{3^2}{3^2 + 4^2} = \frac{9}{9+16} = \frac{9}{25}$

3. 最終的な答え

求める $t$ の値は $t = \frac{9}{25}$ である。

フ = 9

ヘホ = 25