中心 $(1, a, 2)$、半径 $6$ の球面が $zx$ 平面 (つまり $y=0$) と交わってできる円の半径が $3\sqrt{3}$ であるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

中心 $(1, a, 2)$、半径 $6$ の球面が $zx$ 平面 (つまり $y=0$) と交わってできる円の半径が $3\sqrt{3}$ であるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

球面の方程式は

$(x-1)^2 + (y-a)^2 + (z-2)^2 = 6^2 = 36$

である。$zx$ 平面の方程式は $y=0$ なので、この2つが交わってできる円の方程式は、球面の方程式に $y=0$ を代入して

$(x-1)^2 + (0-a)^2 + (z-2)^2 = 36$

$(x-1)^2 + a^2 + (z-2)^2 = 36$

$(x-1)^2 + (z-2)^2 = 36 - a^2$

となる。

この円の半径が $3\sqrt{3}$ なので、

$36 - a^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9 \times 3 = 27$

$a^2 = 36 - 27 = 9$

$a = \pm \sqrt{9} = \pm 3$

3. 最終的な答え

$a = 3, -3$