点 $(x, y)$ が不等式 $(x-1)^2 + (y-2)^2 \leq 1$ の表す領域上を動くとき、以下の問いに答えます。 (1) $x+2y$ の取り得る値の範囲を求めます。 (2) $x^2+y^2$ の取り得る値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

点 $(x, y)$ が不等式 $(x-1)^2 + (y-2)^2 \leq 1$ の表す領域上を動くとき、以下の問いに答えます。

(1) $x+2y$ の取り得る値の範囲を求めます。

(2) $x^2+y^2$ の取り得る値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x+2y=k$ とおきます。これは傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線を表します。この直線が円 $(x-1)^2+(y-2)^2 \leq 1$ と共有点を持つような $k$ の範囲を求めます。直線と円の中心の距離 $d$ が半径 $r=1$ 以下であれば共有点を持ちます。

円の中心 $(1, 2)$ と直線 $x+2y-k=0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|1+2(2)-k|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|5-k|}{\sqrt{5}}$

$d \leq r$ より、

$\frac{|5-k|}{\sqrt{5}} \leq 1$

$|5-k| \leq \sqrt{5}$

$-\sqrt{5} \leq 5-k \leq \sqrt{5}$

$5-\sqrt{5} \leq k \leq 5+\sqrt{5}$

よって、$x+2y$ の取り得る値の範囲は $5-\sqrt{5} \leq x+2y \leq 5+\sqrt{5}$ です。

(2) $x^2+y^2 = l$ とおきます。これは原点を中心とする半径 $\sqrt{l}$ の円を表します。円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 \leq 1$ と円 $x^2+y^2=l$ が共有点を持つような $l$ の範囲を求めます。

円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 1$ の中心は $(1, 2)$ で、半径は $1$ です。原点と円の中心の距離は $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ です。

$x^2+y^2$ の最小値は、原点から円の中心までの距離から半径を引いたものの二乗です。$(\sqrt{5} - 1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.

$x^2+y^2$ の最大値は、原点から円の中心までの距離に半径を足したものの二乗です。$(\sqrt{5} + 1)^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$.

よって、$6-2\sqrt{5} \leq x^2+y^2 \leq 6+2\sqrt{5}$.

3. 最終的な答え

(1) $5-\sqrt{5} \leq x+2y \leq 5+\sqrt{5}$

(2) $6-2\sqrt{5} \leq x^2+y^2 \leq 6+2\sqrt{5}$