(1) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -10$ のとき、$|\vec{a} + \vec{b}|$ を求めよ。 (2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ のとき、 $|2\vec{a} - 3\vec{b}|$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -10$ のとき、$|\vec{a} + \vec{b}|$ を求めよ。

(2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = \sqrt{3}$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ のとき、 $|2\vec{a} - 3\vec{b}|$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算し、その平方根をとることで $|\vec{a} + \vec{b}|$ を求める。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 3^2 + 2(-10) + 4^2 = 9 - 20 + 16 = 5$

したがって、

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$

(2) $|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2$ を計算し、その平方根をとることで $|2\vec{a} - 3\vec{b}|$ を求める。

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b})$

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b})$

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

$1^2 = 2^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\sqrt{3})^2$

$1 = 4 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3$

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

これを $|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2$ の式に代入する。

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = 4(2^2) - 12(3) + 9(\sqrt{3})^2$

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = 16 - 36 + 27 = 7$

したがって、

$|2\vec{a} - 3\vec{b}| = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$

(2) $|2\vec{a} - 3\vec{b}| = \sqrt{7}$