直方体ABCD-EFGHにおいて、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$, $\vec{AE} = \vec{e}$とおく。 (1) $\vec{BH}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$で表せ。 (2) 線分BHを1:2の比に内分する点をPとするとき、$\vec{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$で表せ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$, $\vec{AE} = \vec{e}$とおく。

(1) $\vec{BH}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$で表せ。

(2) 線分BHを1:2の比に内分する点をPとするとき、$\vec{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{BH}$を求める。

$\vec{BH} = \vec{BA} + \vec{AE} + \vec{EH}$

$\vec{BA} = - \vec{AB} = -\vec{b}$

$\vec{EH} = \vec{AD} = \vec{d}$

したがって、

$\vec{BH} = -\vec{b} + \vec{e} + \vec{d}$

$\vec{BH} = -\vec{b} + \vec{d} + \vec{e}$

(2) $\vec{AP}$を求める。

点Pは線分BHを1:2に内分するので、

$\vec{BP} = \frac{1}{3} \vec{BH}$

$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP}$

$\vec{AP} = \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{BH}$

$\vec{AP} = \vec{b} + \frac{1}{3} (-\vec{b} + \vec{d} + \vec{e})$

$\vec{AP} = \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{d} + \frac{1}{3} \vec{e}$

$\vec{AP} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{d} + \frac{1}{3} \vec{e}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{BH} = -\vec{b} + \vec{d} + \vec{e}$

(2) $\vec{AP} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{d} + \frac{1}{3} \vec{e}$