縦の長さが $p$、横の長さが $2p$ の長方形の花壇の周りに、幅 $a$ の道があります。道の面積を $S$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。

1. 問題の内容

縦の長さが $p$、横の長さが $2p$ の長方形の花壇の周りに、幅 $a$ の道があります。道の面積を $S$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、道の外側の長方形の縦と横の長さを求めます。

縦の長さは $p + 2a$、横の長さは $2p + 2a$ になります。

次に、道の面積 $S$ を求めます。道の面積は、外側の長方形の面積から花壇の面積を引いたものになります。

$S = (p + 2a)(2p + 2a) - p(2p)$

$S = 2p^2 + 2ap + 4ap + 4a^2 - 2p^2$

$S = 6ap + 4a^2$

次に、道の真ん中を通る線の長さを $l$ を求めます。

道の真ん中を通る長方形の縦の長さは $p + a$、横の長さは $2p + a$ になります。

$l = 2(p + a) + 2(2p + a)$

$l = 2p + 2a + 4p + 2a$

$l = 6p + 4a$

最後に、$S = al$ を示します。

$al = a(6p + 4a) = 6ap + 4a^2$

これは、先に求めた $S$ と一致します。

3. 最終的な答え

したがって、$S = al$ であることが証明されました。