点Oを中心とする半径1の円に内接する三角形ABCについて、ベクトル $\vec{OA} + \sqrt{3}\vec{OB} + 2\vec{OC} = \vec{0}$ が成り立つとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 内積 $\vec{OA}\cdot\vec{OB}$ , $\vec{OA}\cdot\vec{OC}$ を求めよ。 (2) $\angle AOB$, $\angle AOC$ を求めよ。 (3) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。 (4) 辺BCの長さ、および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径1の円に内接する三角形ABCについて、ベクトル $\vec{OA} + \sqrt{3}\vec{OB} + 2\vec{OC} = \vec{0}$ が成り立つとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 内積 $\vec{OA}\cdot\vec{OB}$ , $\vec{OA}\cdot\vec{OC}$ を求めよ。

(2) $\angle AOB$, $\angle AOC$ を求めよ。

(3) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。

(4) 辺BCの長さ、および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた条件 $\vec{OA} + \sqrt{3}\vec{OB} + 2\vec{OC} = \vec{0}$ より、

$\vec{OA} = -\sqrt{3}\vec{OB} - 2\vec{OC}$

両辺の絶対値の2乗を計算する。$|\vec{OA}|=1$ であることに注意する。

$|\vec{OA}|^2 = |-\sqrt{3}\vec{OB} - 2\vec{OC}|^2$

$1 = 3|\vec{OB}|^2 + 4\sqrt{3}\vec{OB}\cdot\vec{OC} + 4|\vec{OC}|^2$

$|\vec{OB}|=1$, $|\vec{OC}|=1$ より、

$1 = 3 + 4\sqrt{3}\vec{OB}\cdot\vec{OC} + 4$

$4\sqrt{3}\vec{OB}\cdot\vec{OC} = -6$

$\vec{OB}\cdot\vec{OC} = -\frac{6}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

同様に $\sqrt{3}\vec{OB} = -\vec{OA} - 2\vec{OC}$ より、

$3|\vec{OB}|^2 = |\vec{OA} + 2\vec{OC}|^2$

$3 = |\vec{OA}|^2 + 4\vec{OA}\cdot\vec{OC} + 4|\vec{OC}|^2$

$3 = 1 + 4\vec{OA}\cdot\vec{OC} + 4$

$4\vec{OA}\cdot\vec{OC} = -2$

$\vec{OA}\cdot\vec{OC} = -\frac{1}{2}$

また $2\vec{OC} = -\vec{OA} - \sqrt{3}\vec{OB}$ より、

$4|\vec{OC}|^2 = |\vec{OA} + \sqrt{3}\vec{OB}|^2$

$4 = |\vec{OA}|^2 + 2\sqrt{3}\vec{OA}\cdot\vec{OB} + 3|\vec{OB}|^2$

$4 = 1 + 2\sqrt{3}\vec{OA}\cdot\vec{OB} + 3$

$2\sqrt{3}\vec{OA}\cdot\vec{OB} = 0$

$\vec{OA}\cdot\vec{OB} = 0$

(2)

$\vec{OA}\cdot\vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos{\angle AOB} = 1\cdot1\cdot\cos{\angle AOB} = 0$

したがって、$\angle AOB = \frac{\pi}{2}$ (90度)

$\vec{OA}\cdot\vec{OC} = |\vec{OA}||\vec{OC}|\cos{\angle AOC} = 1\cdot1\cdot\cos{\angle AOC} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\angle AOC = \frac{2\pi}{3}$ (120度)

(3)

$\triangle OAB = \frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin{\angle AOB} = \frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}$

$\triangle OAC = \frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OC}|\sin{\angle AOC} = \frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{\frac{2\pi}{3}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\angle BOC = 2\pi - \angle AOB - \angle AOC = 2\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{12\pi-3\pi-4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$\triangle OBC = \frac{1}{2}|\vec{OB}||\vec{OC}|\sin{\angle BOC} = \frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{\frac{5\pi}{6}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$\triangle ABC = \triangle OAB + \triangle OAC + \triangle OBC = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3+\sqrt{3}}{4}$

(4)

$BC^2 = |\vec{OC} - \vec{OB}|^2 = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC}\cdot\vec{OB} + |\vec{OB}|^2 = 1 - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 = 2+\sqrt{3}$

$BC = \sqrt{2+\sqrt{3}}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times \sqrt{2+\sqrt{3}} \times h$

ここで、$h$はAからBCに下ろした垂線の長さである。

よって$\frac{1}{2} \times \sqrt{2+\sqrt{3}} \times h = \frac{3+\sqrt{3}}{4}$

$h = \frac{(3+\sqrt{3})}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \frac{(3+\sqrt{3})\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2\sqrt{4-3}} = \frac{(3+\sqrt{3})\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

$h = \frac{(3\sqrt{2}-3\sqrt{3}+\sqrt{6}-3)}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA}\cdot\vec{OB} = 0$, $\vec{OA}\cdot\vec{OC} = -\frac{1}{2}$

(2) $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$, $\angle AOC = \frac{2\pi}{3}$

(3) $\triangle ABC = \frac{3+\sqrt{3}}{4}$

(4) $BC = \sqrt{2+\sqrt{3}}$, $h = \frac{(3+\sqrt{3})\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$