ベクトル $\vec{a} = (-1, 4, 3)$ と $\vec{b} = (5, -2, -3)$ の両方に直交する単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, 4, 3)$ と $\vec{b} = (5, -2, -3)$ の両方に直交する単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算して、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交するベクトルを求める。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (4)(-3) - (3)(-2) \\ (3)(5) - (-1)(-3) \\ (-1)(-2) - (4)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 + 6 \\ 15 - 3 \\ 2 - 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ -18 \end{pmatrix}$

次に、この外積ベクトルの大きさを計算する。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + (12)^2 + (-18)^2} = \sqrt{36 + 144 + 324} = \sqrt{504} = \sqrt{36 \times 14} = 6\sqrt{14}$

最後に、外積ベクトルをその大きさで割って、単位ベクトルを求める。

$\vec{u} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{1}{6\sqrt{14}} \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/(sqrt{14}) \\ 2/(sqrt{14}) \\ -3/(sqrt{14}) \end{pmatrix}$

もう一つの単位ベクトルは符号を反転させたものである。

$\begin{pmatrix} 1/(\sqrt{14}) \\ -2/(\sqrt{14}) \\ 3/(\sqrt{14}) \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} -1/(\sqrt{14}) \\ 2/(\sqrt{14}) \\ -3/(\sqrt{14}) \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1/(\sqrt{14}) \\ -2/(\sqrt{14}) \\ 3/(\sqrt{14}) \end{pmatrix}$