正七角形について、以下の数を求めます。 (1) 5個の頂点を結んでできる五角形の個数 (2) 対角線の本数 (3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

1. 問題の内容

正七角形について、以下の数を求めます。

(1) 5個の頂点を結んでできる五角形の個数

(2) 対角線の本数

(3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 5個の頂点を結んでできる五角形の個数

正七角形の7個の頂点から5個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの問題なので、${}_7C_5$で計算できます。

${}_7C_5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(2) 対角線の本数

正n角形の対角線の本数は、$\frac{n(n-3)}{2}$で求めることができます。

正七角形なので、$n=7$を代入します。

$\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$

(3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

正七角形の2辺を共有する三角形は、隣り合う2つの辺を選ぶことになります。

正七角形には7つの辺があるので、隣り合う2つの辺を選ぶ方法は7通りです。したがって、正七角形と2辺を共有する三角形は7個です。

3. 最終的な答え

(1) 21個

(2) 14本

(3) 7個