正四角錐 O-ABCD があり、底面の正方形 ABCD の一辺の長さが 6 cm、OA = 9 cm である。底面の対角線の交点を E とする。 (1) AE の長さを求める。 (2) 正四角錐の体積を求める。

1. 問題の内容

正四角錐 O-ABCD があり、底面の正方形 ABCD の一辺の長さが 6 cm、OA = 9 cm である。底面の対角線の交点を E とする。

(1) AE の長さを求める。

(2) 正四角錐の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、正方形 ABCD の対角線 AC の長さを求める。正方形の一辺の長さが 6 cm なので、三平方の定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$

したがって、$AC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm。

E は対角線の交点なので、$AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ cm。

(2)

次に、正四角錐の体積を求める。

正四角錐の高さ OE を求める。三角形 OAE において、三平方の定理より、

$OE^2 = OA^2 - AE^2 = 9^2 - (3\sqrt{2})^2 = 81 - 18 = 63$

したがって、$OE = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$ cm。

底面積は正方形 ABCD の面積なので、$6 \times 6 = 36$ cm$^2$。

正四角錐の体積 V は、

$V = \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ} = \frac{1}{3} \times 36 \times 3\sqrt{7} = 36\sqrt{7}$ cm$^3$。

3. 最終的な答え

(1) $AE = 3\sqrt{2}$ cm

(2) 体積は $36\sqrt{7}$ cm$^3$