直角三角形ABCにおいて、点Pが点Aを出発し、辺AB上をBまで、その後辺BC上をCまで秒速1cmで移動する。点PがAを出発してからx秒後の三角形APCの面積をy $cm^2$とする。 (1) 点PがAを出発してから3秒後のyの値を求める。 (2) 点Pが辺AB上を動くときのxとyの関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。 (3) 点Pが辺BC上を動くときのxの変域を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点Pが点Aを出発し、辺AB上をBまで、その後辺BC上をCまで秒速1cmで移動する。点PがAを出発してからx秒後の三角形APCの面積をy $cm^2$とする。

(1) 点PがAを出発してから3秒後のyの値を求める。

(2) 点Pが辺AB上を動くときのxとyの関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。

(3) 点Pが辺BC上を動くときのxの変域を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点PがAを出発してから3秒後、Pは辺AB上にあり、APの長さは3cmである。

三角形APCの面積yは、$y = \frac{1}{2} \times AP \times AC \times \sin A$で計算できる。

三角形ABCにおいて、$AB = 10$cm, $BC = 4$cmである。$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{100+16} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$cmとなる。

$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{2\sqrt{29}} = \frac{2}{\sqrt{29}}$

$y = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

(2) 点Pが辺AB上を動くとき、xは0から10まで変化する。

AP = xなので、三角形APCの面積は、底辺AC、高さが点PからACへの垂線の長さとなる。

点BからACへの垂線の長さをhとすると、$\frac{1}{2} \times 10 \times 4 = \frac{1}{2} \times \sqrt{116} \times h$より、 $h = \frac{40}{\sqrt{116}} = \frac{40}{2\sqrt{29}} = \frac{20}{\sqrt{29}}$

三角形APCの面積$y = \frac{1}{2} \times x \times BC = \frac{1}{2} \times x \times 4 = 2x$

xが0から10まで増加するにつれて、yも0から20まで増加するので、グラフは原点を通る直線となる。

よって、グラフは選択肢の③である。

(3) 点Pが辺BC上を動くとき、点PがBに到着するまでに10秒かかる。

点PがCに到着するまでに10 + 4 = 14秒かかる。

したがって、xの変域は $10 \leq x \leq 14$である。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 3

(3) $10 \leq x \leq 14$