直線 $y = 2x + 1$ に関して、点 $(3, 1)$ と線対称の位置にある点 $(a, b)$ を求めよ。つまり、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + 1$ に関して、点 $(3, 1)$ と線対称の位置にある点 $(a, b)$ を求めよ。つまり、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

線対称の位置にある点の性質を利用して問題を解く。具体的には、以下の2つの性質を用いる。

* 2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ を結ぶ線分の中点は、直線 $y = 2x + 1$ 上にある。

* 2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ を結ぶ線分は、直線 $y = 2x + 1$ と垂直に交わる。

まず、2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ の中点の座標を求める。中点の座標は $\left( \frac{3+a}{2}, \frac{1+b}{2} \right)$ である。

この中点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、

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\frac{1+b}{2} = 2 \cdot \frac{3+a}{2} + 1

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が成り立つ。これを整理すると、

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1 + b = 2(3 + a) + 2 = 6 + 2a + 2

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b = 2a + 7

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次に、2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ を結ぶ線分の傾きを求める。傾きは $\frac{b-1}{a-3}$ である。

直線 $y = 2x + 1$ の傾きは $2$ である。

2つの直線が垂直に交わるので、傾きの積は $-1$ となる。よって、

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\frac{b-1}{a-3} \cdot 2 = -1

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2(b-1) = - (a-3)

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2b - 2 = -a + 3

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2b = -a + 5

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$b = 2a + 7$ を代入して、

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2(2a + 7) = -a + 5

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4a + 14 = -a + 5

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5a = -9

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a = -\frac{9}{5}

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$b = 2a + 7$ に代入して、

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b = 2 \left( -\frac{9}{5} \right) + 7 = -\frac{18}{5} + \frac{35}{5} = \frac{17}{5}

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よって、求める点の座標は $\left( -\frac{9}{5}, \frac{17}{5} \right)$ である。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{9}{5}, b = \frac{17}{5}$