与えられた2つの直交座標の方程式を極方程式で表す問題です。 (1) $x^2 + 2y^2 = 4$ (2) $x^2 + y^2 - 2x = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの直交座標の方程式を極方程式で表す問題です。

(1) $x^2 + 2y^2 = 4$

(2) $x^2 + y^2 - 2x = 0$

2. 解き方の手順

直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, \theta)$ の関係は以下の通りです。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

(1) $x^2 + 2y^2 = 4$

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を代入すると、

$(r\cos\theta)^2 + 2(r\sin\theta)^2 = 4$

$r^2\cos^2\theta + 2r^2\sin^2\theta = 4$

$r^2(\cos^2\theta + 2\sin^2\theta) = 4$

$r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta + \sin^2\theta) = 4$

$r^2(1 + \sin^2\theta) = 4$

$r^2 = \frac{4}{1 + \sin^2\theta}$

$r = \frac{2}{\sqrt{1 + \sin^2\theta}}$

(2) $x^2 + y^2 - 2x = 0$

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を代入すると、

$(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2 - 2(r\cos\theta) = 0$

$r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta - 2r\cos\theta = 0$

$r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 2r\cos\theta = 0$

$r^2 - 2r\cos\theta = 0$

$r(r - 2\cos\theta) = 0$

$r = 0$ または $r = 2\cos\theta$

$r = 0$ は $r = 2\cos\theta$ に $\theta = \frac{\pi}{2}$ を代入すると含まれるので、$r = 2\cos\theta$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $r = \frac{2}{\sqrt{1 + \sin^2\theta}}$

(2) $r = 2\cos\theta$