右の図において、直線①は $y = -2x + 14$、直線②の傾きは $\frac{1}{2}$ である。点Aは直線②と $y$ 軸の交点で、その $y$ 座標は4である。点Bは直線①と $x$ 軸の交点である。 (1) 直線②の式を求めよ。 (2) 点Pの座標を求めよ。点Pは直線①と直線②の交点である。 (3) 三角形PABの面積を求めよ。

1. 問題の内容

右の図において、直線①は $y = -2x + 14$、直線②の傾きは $\frac{1}{2}$ である。点Aは直線②と $y$ 軸の交点で、その $y$ 座標は4である。点Bは直線①と $x$ 軸の交点である。

(1) 直線②の式を求めよ。

(2) 点Pの座標を求めよ。点Pは直線①と直線②の交点である。

(3) 三角形PABの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの $y$ 座標が4であることと、直線②の傾きが $\frac{1}{2}$ であることから、直線②の式を $y = \frac{1}{2}x + 4$ と表すことができます。

(2) 点Pは直線①と直線②の交点なので、以下の連立方程式を解きます。

$y = -2x + 14$

$y = \frac{1}{2}x + 4$

この二つの式をイコールで繋ぎ、$x$について解くと、

$-2x + 14 = \frac{1}{2}x + 4$

$-4x + 28 = x + 8$

$5x = 20$

$x = 4$

$x = 4$ を $y = -2x + 14$ に代入すると、$y = -2(4) + 14 = -8 + 14 = 6$ となります。

したがって、点Pの座標は $(4, 6)$ です。

(3) 点Bは直線①と $x$ 軸との交点なので、$y = 0$ を $y = -2x + 14$ に代入して $x$ を求めます。

$0 = -2x + 14$

$2x = 14$

$x = 7$

したがって、点Bの座標は $(7, 0)$ です。

点Aの座標は $(0, 4)$ です。

三角形PABの面積は、点Pから $x$ 軸に垂線を下ろし、線分ABを底辺としたときの高さとして考えることができます。線分ABの長さを求める前に、三角形PABを線分ABを底辺として、高さhを点Pのy座標から4を引いたもの（6 - 4 = 2）と考えることができます。この場合は点Aのy座標である4を利用しています。また、三角形の底辺は線分ABですので、A(0,4)からB(7,0)の距離を求めます。この場合はピタゴラスの定理を使用します。AB = $\sqrt{(7-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{49+16} = \sqrt{65}$。三角形の面積は$\frac{1}{2} \times \sqrt{65} \times 2 = \sqrt{65}$

ここでは、点Aを原点とする座標に変換し、点Bと点Pの座標を求め、靴紐公式を使用し面積を計算します。

点Aは(0,4)であるため、点P(4,6)は(4,2)に、点B(7,0)は(7,-4)に変換されます。

三角形の面積を求める公式、靴紐の定理により、

S = $\frac{1}{2} |(4 * -4) - (2*7)| = \frac{1}{2} |-16 - 14| = \frac{1}{2} |-30| = 15$

したがって、三角形PABの面積は15です。

3. 最終的な答え

(1) 直線②の式: $y = \frac{1}{2}x + 4$

(2) 点Pの座標: $(4, 6)$

(3) 三角形PABの面積: 15