直角三角形ABCにおいて、AB=12cm、BC=16cmである。点Pは点Aを毎秒3cmで辺AB上を動き、点Qは点Bを毎秒4cmで辺BC上を動く。三角形PBQの面積が12cm$^2$になるのは、点Pが点Aを出発してから何秒後かを求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、AB=12cm、BC=16cmである。点Pは点Aを毎秒3cmで辺AB上を動き、点Qは点Bを毎秒4cmで辺BC上を動く。三角形PBQの面積が12cm$^2$になるのは、点Pが点Aを出発してから何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

点Pが点Aを出発してから$t$秒後のPBの長さは、ABからAPを引いた長さになる。APの長さは$3t$なので、PBの長さは$12 - 3t$となる。

点Qが点Bを出発してから$t$秒後のBQの長さは、$4t$となる。

三角形PBQの面積は、$\frac{1}{2} \times PB \times BQ$で計算できる。これが12cm$^2$になるので、以下の式が成り立つ。

$\frac{1}{2} \times (12 - 3t) \times (4t) = 12$

これを解いて、$t$を求める。

まず、式を整理する。

$(12 - 3t) \times (4t) = 24$

$48t - 12t^2 = 24$

$12t^2 - 48t + 24 = 0$

両辺を12で割る。

$t^2 - 4t + 2 = 0$

この2次方程式を解の公式を用いて解く。

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1}$

$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2}$

$t = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}$

$t = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$t = 2 \pm \sqrt{2}$

ここで、$0 < t < 4$である必要がある（なぜなら、点Pは12/3=4秒後に点Bに到着し、点Qは16/4=4秒後に点Cに到着するため）。$t = 2 + \sqrt{2}$も$t = 2 - \sqrt{2}$もこの範囲を満たす。

したがって、$2 + \sqrt{2}$と$2 - \sqrt{2}$が答えの候補となる。

3. 最終的な答え

点Pが点Aを出発してから $(2 + \sqrt{2})$ 秒後と $(2 - \sqrt{2})$ 秒後。