三角形ABCにおいて、辺BC上に点Hがあり、線分AHと辺BCは垂直である。$AB = \sqrt{29}$、$AH = 5$、$BC = 7$のとき、$\sin{B}$と$\cos{C}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に点Hがあり、線分AHと辺BCは垂直である。$AB = \sqrt{29}$、$AH = 5$、$BC = 7$のとき、$\sin{B}$と$\cos{C}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形ABHにおいて、三平方の定理を用いてBHの長さを求める。

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$(\sqrt{29})^2 = 5^2 + BH^2$

$29 = 25 + BH^2$

$BH^2 = 4$

$BH = 2$

次に、HCの長さを求める。$BC = BH + HC$より、

$HC = BC - BH = 7 - 2 = 5$

次に、直角三角形AHCにおいて、三平方の定理を用いてACの長さを求める。

$AC^2 = AH^2 + HC^2$

$AC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$

$AC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$\sin{B}$は直角三角形ABHにおいて、

$\sin{B} = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{\sqrt{29}} = \frac{5\sqrt{29}}{29}$

$\cos{C}$は直角三角形AHCにおいて、

$\cos{C} = \frac{HC}{AC} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin{B} = \frac{5\sqrt{29}}{29}$

$\cos{C} = \frac{\sqrt{2}}{2}$