直線 $y = 2x + 1$ に関して、点 $(3, 1)$ と線対称な点の座標 $(a, b)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + 1$ に関して、点 $(3, 1)$ と線対称な点の座標 $(a, b)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

線対称の条件は以下の2点です。

(1) 2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ を結ぶ直線が、直線 $y = 2x + 1$ と垂直であること。

(2) 2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ の中点が、直線 $y = 2x + 1$ 上にあること。

(1)について、直線 $y = 2x + 1$ の傾きは $2$ です。2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{b - 1}{a - 3}$ です。

2つの直線が垂直である条件は、傾きの積が $-1$ であることなので、

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2 \cdot \frac{b - 1}{a - 3} = -1

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これを整理すると、

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2(b - 1) = -(a - 3)

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2b - 2 = -a + 3

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a + 2b = 5 \qquad (1)

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(2)について、2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ の中点の座標は $(\frac{3+a}{2}, \frac{1+b}{2})$ です。

この中点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、

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\frac{1 + b}{2} = 2 \cdot \frac{3 + a}{2} + 1

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これを整理すると、

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1 + b = 2(3 + a) + 2

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1 + b = 6 + 2a + 2

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b = 2a + 7 \qquad (2)

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(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(2)を(1)に代入すると、

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a + 2(2a + 7) = 5

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a + 4a + 14 = 5

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5a = -9

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a = -\frac{9}{5}

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(2)に代入すると、

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b = 2 \cdot \left(-\frac{9}{5}\right) + 7

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b = -\frac{18}{5} + \frac{35}{5}

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b = \frac{17}{5}

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3. 最終的な答え

$a = -\frac{9}{5}, b = \frac{17}{5}$