問題は、直線 $y = x + 2$ 上の点Pがあり、点Pの$x$座標を$a$とする。点Aは、$x$軸上にあり、$PO = PA$を満たす点である。このとき、以下の問いに答える。 (1) 点Pの$y$座標を求めよ。 (2) 点Aの座標を求めよ。 (3) 三角形POAの面積が15cm²のときの点Pの座標を求めよ。 ただし、$a > 0$とし、座標の1目盛りは1cmとする。

1. 問題の内容

問題は、直線 $y = x + 2$ 上の点Pがあり、点Pの$x$座標を$a$とする。点Aは、$x$軸上にあり、$PO = PA$を満たす点である。このとき、以下の問いに答える。

(1) 点Pの$y$座標を求めよ。

(2) 点Aの座標を求めよ。

(3) 三角形POAの面積が15cm²のときの点Pの座標を求めよ。

ただし、$a > 0$とし、座標の1目盛りは1cmとする。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの$x$座標は$a$であるから、$y = x + 2$に$x = a$を代入すると、$y$座標は求まる。

(2) 点Aの$x$座標を$x_A$とおく。$PO = PA$より、$PO^2 = PA^2$である。

点Pの座標は$(a, a+2)$、点Oの座標は$(0, 0)$、点Aの座標は$(x_A, 0)$である。

$PO^2 = a^2 + (a+2)^2 = a^2 + a^2 + 4a + 4 = 2a^2 + 4a + 4$

$PA^2 = (x_A - a)^2 + (0 - (a+2))^2 = (x_A - a)^2 + (a+2)^2 = x_A^2 - 2ax_A + a^2 + a^2 + 4a + 4 = x_A^2 - 2ax_A + 2a^2 + 4a + 4$

$PO^2 = PA^2$より、$2a^2 + 4a + 4 = x_A^2 - 2ax_A + 2a^2 + 4a + 4$

$0 = x_A^2 - 2ax_A$

$x_A(x_A - 2a) = 0$

$x_A = 0$または$x_A = 2a$

点Aは原点ではないので、$x_A = 2a$

よって、点Aの座標は$(2a, 0)$

(3) 三角形POAの面積は、$\frac{1}{2} \times OA \times (Pのy座標)$で求められる。

$OA = 2a$

Pのy座標は$a+2$

面積は$\frac{1}{2} \times 2a \times (a+2) = a(a+2)$

$a(a+2) = 15$

$a^2 + 2a - 15 = 0$

$(a+5)(a-3) = 0$

$a = -5$または$a = 3$

$a > 0$より、$a = 3$

点Pの座標は$(3, 3+2) = (3, 5)$

3. 最終的な答え

(1) 点Pのy座標：$a+2$

(2) 点Aの座標：$(2a, 0)$

(3) 点Pの座標：$(3, 5)$