直線 $y = 2x + 1$ に対して、点 $(3, 1)$ と線対称の位置にある点 $(a, b)$ を求める問題です。つまり、$a$ と $b$ の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + 1$ に対して、点 $(3, 1)$ と線対称の位置にある点 $(a, b)$ を求める問題です。つまり、$a$ と $b$ の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

以下の手順で $a$ と $b$ の値を求めます。

ステップ1: 直線 $y = 2x + 1$ の傾きは $2$ です。点 $(3, 1)$ と点 $(a, b)$ を結ぶ直線は、与えられた直線と垂直なので、この直線の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。したがって、

$$\frac{b - 1}{a - 3} = -\frac{1}{2}$$

という関係が成り立ちます。これを変形すると、

$$2(b - 1) = -(a - 3)$$

$$2b - 2 = -a + 3$$

$$a + 2b = 5$$

という式が得られます。

ステップ2: 点 $(3, 1)$ と点 $(a, b)$ の中点は $(\frac{a+3}{2}, \frac{b+1}{2})$ です。この中点は直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、

$$\frac{b + 1}{2} = 2\left(\frac{a + 3}{2}\right) + 1$$

という関係が成り立ちます。これを変形すると、

$$b + 1 = 2(a + 3) + 2$$

$$b + 1 = 2a + 6 + 2$$

$$b = 2a + 7$$

という式が得られます。

ステップ3: ステップ1とステップ2で得られた2つの式、

$$a + 2b = 5$$

$$b = 2a + 7$$

を連立方程式として解きます。$b$ を $2a + 7$ で置き換えると、

$$a + 2(2a + 7) = 5$$

$$a + 4a + 14 = 5$$

$$5a = -9$$

$$a = -\frac{9}{5}$$

となります。

ステップ4: $a = -\frac{9}{5}$ を $b = 2a + 7$ に代入して $b$ を求めます。

$$b = 2\left(-\frac{9}{5}\right) + 7$$

$$b = -\frac{18}{5} + \frac{35}{5}$$

$$b = \frac{17}{5}$$

となります。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{9}{5}$

$b = \frac{17}{5}$