$\alpha$ と $\beta$ は鈍角であり、$tan\alpha = -\frac{4}{3}$、$cos\beta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ と $\beta$ は鈍角であり、$tan\alpha = -\frac{4}{3}$、$cos\beta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$ について：

$\alpha$ は鈍角であるため、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ となります。この範囲において、$tan\alpha$ が負であることから、$\alpha$ は第2象限の角であることが分かります。

$tan\alpha = -\frac{4}{3}$ なので、$sin\alpha$ は正、$cos\alpha$ は負です。

$1 + tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$ より、

$cos^2\alpha = \frac{1}{1 + tan^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-\frac{4}{3})^2} = \frac{1}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{1}{\frac{25}{9}} = \frac{9}{25}$

$cos\alpha = \pm \frac{3}{5}$

$\alpha$ が第2象限の角なので、$cos\alpha = -\frac{3}{5}$

$sin\alpha = tan\alpha \cdot cos\alpha = (-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{5}) = \frac{4}{5}$

(2) $\beta$ について：

$\beta$ は鈍角であるため、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ となります。この範囲において、$cos\beta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ であることから、$\beta = \frac{3\pi}{4}$ であることが分かります。

よって、$sin\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $cos(\alpha + \beta)$ について：

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$

$cos(\alpha + \beta) = (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) - (\frac{4}{5}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3}{5\sqrt{2}} - \frac{4}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$

3. 最終的な答え

$cos(\alpha + \beta) = -\frac{\sqrt{2}}{10}$