放物線 $y = ax^2$ ($a > 0$)上に点A, Bがあり、A, Bのx座標はそれぞれ-1, 2である。原点をOとする。三角形OABの面積が9のとき、以下の問いに答える。 (1) aの値を求めよ。 (2) OAに平行でBを通る直線をひき、放物線 $y = ax^2$ との交点をCとするとき、点Cの座標を求めよ。 (3) Oを通り四角形AOBCの面積を2等分する直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2$ ($a > 0$)上に点A, Bがあり、A, Bのx座標はそれぞれ-1, 2である。原点をOとする。三角形OABの面積が9のとき、以下の問いに答える。

(1) aの値を求めよ。

(2) OAに平行でBを通る直線をひき、放物線 $y = ax^2$ との交点をCとするとき、点Cの座標を求めよ。

(3) Oを通り四角形AOBCの面積を2等分する直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) aの値を求める。

点A, Bの座標はそれぞれ(-1, a), (2, 4a)である。

三角形OABの面積は、Oを通りABに平行な直線とy軸の交点をDとして、三角形OAB = 三角形OAD + 三角形OBDで計算できる。

直線ABの式を $y = px + q$ とすると、

$a = -p + q$

$4a = 2p + q$

これらを解くと、$p = a$、$q = 2a$。したがって、直線ABの式は $y = a x + 2a$。

y軸との交点Dの座標は(0, 2a)。

よって、三角形OABの面積は、$\frac{1}{2} \times (2-(-1)) \times (2a) = 3a = 9$。したがって、$a = 3$。

(2) 点Cの座標を求める。

A(-1, 3), B(2, 12)。直線OAの傾きは -3。

OAに平行でBを通る直線の式は、$y = -3x + b$。点Bを通るので、$12 = -3 \times 2 + b$。よって、$b = 18$。

直線BCの式は、$y = -3x + 18$。

点Cは直線BCと放物線 $y = 3x^2$ の交点なので、$3x^2 = -3x + 18$。

$x^2 = -x + 6$。$x^2 + x - 6 = 0$。

$(x + 3)(x - 2) = 0$。$x = -3, 2$。

点Bと異なる交点なので、$x = -3$。

$y = 3(-3)^2 = 27$。

したがって、点Cの座標は (-3, 27)。

(3) Oを通り四角形AOBCの面積を2等分する直線の式を求める。

四角形AOBCの面積は、三角形OAB + 三角形OBC = 9 + 三角形OBC。

三角形OBCの面積は、$\frac{1}{2} | (2 \times 27 + (-3) \times 0 + 0 \times 12) - (0 \times 2 + 12 \times (-3) + 27 \times 0) | = \frac{1}{2} | 54 + 36 | = \frac{1}{2} \times 90 = 45$。

したがって、四角形AOBCの面積は $9 + 45 = 54$。面積を2等分するので、$54 / 2 = 27$。

四角形AOBCの面積を二等分する直線は、ACの中点を通る。

ACの中点は、((-1 + -3) / 2, (3 + 27) / 2) = (-2, 15)。

原点OとACの中点を通る直線の式は、$y = \frac{15}{-2} x = -\frac{15}{2} x$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) C(-3, 27)

(3) $y = -\frac{15}{2} x$