直線 $y=2x+1$ に関して、点 $(3, 1)$ と線対称な点の座標 $(a, b)$ を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y=2x+1$ に関して、点 $(3, 1)$ と線対称な点の座標 $(a, b)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $(3, 1)$ と点 $(a, b)$ が直線 $y = 2x + 1$ に関して線対称であることから、以下の2つの条件が成り立つ。

* 条件1: 2点を通る直線は与えられた直線と垂直に交わる。

* 条件2: 2点の中点は与えられた直線上に存在する。

まず、条件1から考える。2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ を通る直線の傾きは、$\frac{b-1}{a-3}$である。この直線が直線 $y=2x+1$ と垂直に交わるので、傾きの積が $-1$ となる。よって、

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\frac{b-1}{a-3} \cdot 2 = -1

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これを整理すると、

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2(b-1) = -(a-3)

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2b - 2 = -a + 3

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a + 2b = 5 \qquad \cdots ①

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次に、条件2から考える。2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ の中点の座標は$(\frac{3+a}{2}, \frac{1+b}{2})$である。この中点が直線 $y=2x+1$ 上にあるので、

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\frac{1+b}{2} = 2 \cdot \frac{3+a}{2} + 1

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1+b = 2(3+a) + 2

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1+b = 6+2a+2

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b = 2a + 7 \qquad \cdots ②

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①と②の連立方程式を解く。②を①に代入すると、

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a + 2(2a + 7) = 5

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a + 4a + 14 = 5

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5a = -9

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a = -\frac{9}{5}

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これを②に代入すると、

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b = 2 \cdot \left(-\frac{9}{5}\right) + 7

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b = -\frac{18}{5} + \frac{35}{5}

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b = \frac{17}{5}

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3. 最終的な答え

$a = -\frac{9}{5}$, $b = \frac{17}{5}$