円に内接する四角形と、点Aにおける接線STが与えられています。角$\angle BAC = 78^\circ$と$\angle BAT = 35^\circ$がわかっているとき、角$\angle ABD = x$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形と、点Aにおける接線STが与えられています。角$\angle BAC = 78^\circ$と$\angle BAT = 35^\circ$がわかっているとき、角$\angle ABD = x$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

- 円周角の定理より、弧BDに対する円周角は等しいので、$\angle BAD = \angle BCD$です。

- また、接線と弦の作る角の定理より、$\angle BAT = \angle ADB$が成り立ちます。

- 四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180度です。つまり、$\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$が成り立ちます。

- これらの情報を使って、xの値を計算します。

まず、接線と弦の作る角の定理から、

$\angle ADB = \angle BAT = 35^\circ$

次に、円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BCD = 78^\circ$なので、円周角の定理より$\angle BAD = \angle BCD = 78^\circ$です。

すると、$\angle BAD = 78^\circ$なので、$\angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180^\circ$が成り立ちます。

$\angle ABD = x$とおくと、$x + 35^\circ + 78^\circ = 180^\circ$

$x + 113^\circ = 180^\circ$

$x = 180^\circ - 113^\circ$

$x = 67^\circ$

3. 最終的な答え

$x = 67^\circ$