14m離れた2地点から三重塔の仰角を測定したところ、それぞれ45°と30°であった。このとき、三重塔の高さH[m]を求める。ただし、$\sqrt{2} = 1.4$, $\sqrt{3} = 1.7$として計算する。

1. 問題の内容

14m離れた2地点から三重塔の仰角を測定したところ、それぞれ45°と30°であった。このとき、三重塔の高さH[m]を求める。ただし、$\sqrt{2} = 1.4$, $\sqrt{3} = 1.7$として計算する。

2. 解き方の手順

三重塔の足元から、45°の地点までの距離をx[m]とする。

すると、30°の地点までの距離は、x + 14[m]となる。

45°の地点では、$\tan 45^\circ = \frac{H}{x}$が成り立つ。

$\tan 45^\circ = 1$であるから、

$H = x$

が成り立つ。

30°の地点では、$\tan 30^\circ = \frac{H}{x+14}$が成り立つ。

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$であるから、

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H}{x+14}$

が成り立つ。

$H = x$を代入すると、

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{x+14}$

が成り立つ。

両辺に$\sqrt{3}(x+14)$を掛けると、

$x + 14 = \sqrt{3}x$

$\sqrt{3}x - x = 14$

$(\sqrt{3} - 1)x = 14$

$x = \frac{14}{\sqrt{3} - 1}$

ここで、$x = \frac{14}{\sqrt{3} - 1}$の分母を有理化すると、

$x = \frac{14(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$

$x = \frac{14(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}$

$x = \frac{14(\sqrt{3} + 1)}{2}$

$x = 7(\sqrt{3} + 1)$

$\sqrt{3} = 1.7$を代入すると、

$x = 7(1.7 + 1)$

$x = 7(2.7)$

$x = 18.9$

$H = x$であるから、

$H = 18.9$

3. 最終的な答え

18.9 m