$xy$平面において、直線 $l: x + t(y-3) = 0$ と $m: tx - (y+3) = 0$ を考える。ただし、$t$は実数である。 (1) 直線 $l$ が $t$ の値にかかわらずある定点を通ることを示す。 (2) $t$ が実数全体を動くとき、直線 $l$ と $m$ の交点はどんな図形を描くか。

1. 問題の内容

$xy$平面において、直線 $l: x + t(y-3) = 0$ と $m: tx - (y+3) = 0$ を考える。ただし、$t$は実数である。

(1) 直線 $l$ が $t$ の値にかかわらずある定点を通ることを示す。

(2) $t$ が実数全体を動くとき、直線 $l$ と $m$ の交点はどんな図形を描くか。

2. 解き方の手順

(1) $x + t(y-3) = 0$ を $t$ について整理すると、

$t(y-3) + x = 0$

この式が任意の $t$ に対して成り立つためには、

$y-3 = 0$ かつ $x = 0$ である必要がある。

したがって、$y = 3$ かつ $x = 0$ となる。

つまり、直線 $l$ は $t$ の値にかかわらず定点 $(0, 3)$ を通る。

(2) 直線 $l: x + t(y-3) = 0$ と $m: tx - (y+3) = 0$ の交点を求める。

$l$ の式より、$x = -t(y-3)$

これを $m$ の式に代入すると、

$t(-t(y-3)) - (y+3) = 0$

$-t^2(y-3) - (y+3) = 0$

$-t^2 y + 3t^2 - y - 3 = 0$

$y(t^2 + 1) = 3t^2 - 3$

$y = \frac{3t^2 - 3}{t^2 + 1} = \frac{3(t^2 + 1) - 6}{t^2 + 1} = 3 - \frac{6}{t^2 + 1}$

$x = -t(y-3) = -t(\frac{3t^2 - 3}{t^2 + 1} - 3) = -t(\frac{3t^2 - 3 - 3t^2 - 3}{t^2 + 1}) = -t(\frac{-6}{t^2 + 1}) = \frac{6t}{t^2 + 1}$

$x^2 + (y-3)^2 = (\frac{6t}{t^2 + 1})^2 + (3 - \frac{6}{t^2 + 1} - 3)^2 = (\frac{6t}{t^2 + 1})^2 + (\frac{-6}{t^2 + 1})^2 = \frac{36t^2 + 36}{(t^2 + 1)^2} = \frac{36(t^2 + 1)}{(t^2 + 1)^2} = \frac{36}{t^2 + 1}$

$y = 3 - \frac{6}{t^2 + 1}$ より $\frac{6}{t^2+1} = 3-y$. これを代入すると、

$x^2 + (y-3)^2 = 6(3-y)$

$x^2 + y^2 - 6y + 9 = 18 - 6y$

$x^2 + y^2 = 9$

これは、中心が $(0, 0)$、半径が $3$ の円を表す。

直線 $l$ は $(0,3)$を通るので，$t=0$のとき，$l: x = 0$である。

直線 $m$ は $m: tx - (y+3) = 0$.　$t=0$のとき，$m: y = -3$である。

よって、交点は $(0, -3)$となる。

$t$ が実数全体を動くので、$y=3-\frac{6}{t^2+1}$より，$y$は最大値$3-0=3$をとる。しかし、$3-y = \frac{6}{t^2+1}>0$であるから，$y$は必ず$3$より小さい。

したがって、$y=3$は交点として存在しない。

つまり、$x^2+y^2=9$上の点$(0,3)$は交点として存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $l$ は定点 $(0, 3)$ を通る。

(2) 直線 $l$ と $m$ の交点は、中心 $(0, 0)$、半径 $3$ の円から点 $(0, 3)$ を除いた図形を描く。

すなわち、$x^2 + y^2 = 9$ かつ $(x, y) \neq (0, 3)$.