正七角形について、以下の個数を求める問題です。 (1) 5個の頂点を結んでできる五角形の個数 (2) 対角線の本数 (3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

1. 問題の内容

正七角形について、以下の個数を求める問題です。

(1) 5個の頂点を結んでできる五角形の個数

(2) 対角線の本数

(3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 五角形の個数

正七角形の7個の頂点から5個を選ぶ組み合わせを考えます。これは、7個から5個を選ぶ組み合わせと同じなので、$_7C_5$で計算できます。

$$$$

_7C_5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21

$$$$

したがって、五角形の個数は21個です。

(2) 対角線の本数

正n角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で求めることができます。正七角形なので、$n=7$を代入します。

$$$$

\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14

$$$$

したがって、対角線の本数は14本です。

(3) 2辺を共有する三角形の個数

正七角形と2辺を共有する三角形は、ある1つの辺を固定したとき、その隣の辺と合わせて三角形を作るしかありません。正七角形は7つの辺があるので、そのような三角形は7つ存在します。

3. 最終的な答え

(1) 五角形の個数: 21個

(2) 対角線の本数: 14本

(3) 2辺を共有する三角形の個数: 7個