14m離れた2地点から塔の仰角を測ったところ、それぞれ30°と45°であった。塔の高さH[m]を求めよ。ただし、$\sqrt{2}=1.4$, $\sqrt{3}=1.7$とする。

1. 問題の内容

14m離れた2地点から塔の仰角を測ったところ、それぞれ30°と45°であった。塔の高さH[m]を求めよ。ただし、$\sqrt{2}=1.4$, $\sqrt{3}=1.7$とする。

2. 解き方の手順

塔の真下から、45°の仰角を測った地点までの距離をxとする。塔の高さはHなので、tan45°=$\frac{H}{x}$となる。45°の地点から14m離れた地点で仰角は30°なので、tan30°=$\frac{H}{x+14}$となる。

まず、tan45°について考える。

$tan45^\circ = 1$なので、

$1 = \frac{H}{x}$

$x = H$ (1)

次に、tan30°について考える。

$tan30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$なので、

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H}{x+14}$

$x+14 = \sqrt{3}H$ (2)

(1)を(2)に代入する。

$H+14 = \sqrt{3}H$

$\sqrt{3}H - H = 14$

$(\sqrt{3}-1)H = 14$

$H = \frac{14}{\sqrt{3}-1}$

分母を有理化する。

$H = \frac{14(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$

$H = \frac{14(\sqrt{3}+1)}{3-1}$

$H = \frac{14(\sqrt{3}+1)}{2}$

$H = 7(\sqrt{3}+1)$

$\sqrt{3} = 1.7$を代入する。

$H = 7(1.7+1)$

$H = 7 \times 2.7$

$H = 18.9$

3. 最終的な答え

18.9 m