$\angle BAC = \frac{\pi}{3}$、$\angle ABC = \frac{\pi}{6}$、$AC = 1$ である直角三角形 $ABC$ の内部に、正方形 $S_1, S_2, S_3, \dots$ が限りなく並んでいます。正の整数 $n$ に対して、$S_n$ の一辺の長さを $x_n$、面積を $T_n$ とします。 (1) $x_1$ を求めよ。 (2) $x_{n+1}$ を $x_n$ を用いて表せ。 (3) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} T_n$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$\angle BAC = \frac{\pi}{3}$、$\angle ABC = \frac{\pi}{6}$、$AC = 1$ である直角三角形 $ABC$ の内部に、正方形 $S_1, S_2, S_3, \dots$ が限りなく並んでいます。正の整数 $n$ に対して、$S_n$ の一辺の長さを $x_n$、面積を $T_n$ とします。

(1) $x_1$ を求めよ。

(2) $x_{n+1}$ を $x_n$ を用いて表せ。

(3) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} T_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x_1$ を求める。

三角形 $ABC$ は $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ の直角三角形であるから、$BC = \sqrt{3}$、$AB = 2$。

正方形 $S_1$ の一辺の長さは $x_1$ であり、$AC = 1$ であるから、$x_1 + x_1 \tan \frac{\pi}{6} = 1$。

$x_1 + x_1 \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$

$x_1(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 1$

$x_1(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}) = 1$

$x_1 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$

$x_1 = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

(2) $x_{n+1}$ を $x_n$ を用いて表す。

正方形 $S_n$ と $S_{n+1}$ の関係を考える。

$S_n$ の上にある三角形は、$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ の直角三角形であり、$x_{n+1} + x_{n+1} \tan \frac{\pi}{6} = x_n$。

$x_{n+1}(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = x_n$

$x_{n+1}(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}) = x_n$

$x_{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} x_n$

$x_{n+1} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} x_n$

(3) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} T_n$ を求める。

$T_n = x_n^2$ である。

$x_{n+1} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} x_n$ より、$x_n$ は等比数列である。初項は $x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$、公比は $r = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$。

$T_n = x_n^2$ であるから、$T_n$ も等比数列である。初項は $T_1 = x_1^2 = (\frac{3 - \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{4} = 3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$、公比は $r^2 = (\frac{3 - \sqrt{3}}{2})^2 = 3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$。

$\sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{T_1}{1 - r^2} = \frac{3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}}{1 - (3 - \frac{3\sqrt{3}}{2})} = \frac{3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}}{-2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{-4 + 3\sqrt{3}} = \frac{(6 - 3\sqrt{3})(-4 - 3\sqrt{3})}{(-4 + 3\sqrt{3})(-4 - 3\sqrt{3})} = \frac{-24 - 18\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 27}{16 - 27} = \frac{3 - 6\sqrt{3}}{-11} = \frac{-3 + 6\sqrt{3}}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

(2) $x_{n+1} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} x_n$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{6\sqrt{3}-3}{11}$