直線 $y=2x+1$ において、点 $(3, 1)$ と線対称の位置にある点を $(a, b)$ とする。$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y=2x+1$ において、点 $(3, 1)$ と線対称の位置にある点を $(a, b)$ とする。$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $(3, 1)$ と点 $(a, b)$ が直線 $y = 2x + 1$ に関して線対称であるとき、以下の2つの条件が成り立つ。

* 2点を通る直線が、与えられた直線と垂直に交わる。

* 2点の中点が、与えられた直線上に存在する。

まず、2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ を通る直線の傾きを求める。傾きは $\frac{b-1}{a-3}$ である。直線 $y = 2x + 1$ の傾きは $2$ である。2つの直線が垂直に交わるので、傾きの積は $-1$ になる。

$\frac{b-1}{a-3} \cdot 2 = -1$

$2(b-1) = -(a-3)$

$2b - 2 = -a + 3$

$a + 2b = 5$ ...(1)

次に、2点 $(3, 1)$ と $(a, b)$ の中点を求める。中点の座標は $(\frac{a+3}{2}, \frac{b+1}{2})$ である。この中点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、以下の方程式が成り立つ。

$\frac{b+1}{2} = 2(\frac{a+3}{2}) + 1$

$b + 1 = 2(a + 3) + 2$

$b + 1 = 2a + 6 + 2$

$b = 2a + 7$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(2)を(1)に代入すると

$a + 2(2a + 7) = 5$

$a + 4a + 14 = 5$

$5a = -9$

$a = -\frac{9}{5}$

$b = 2(-\frac{9}{5}) + 7 = -\frac{18}{5} + \frac{35}{5} = \frac{17}{5}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{9}{5}$

$b = \frac{17}{5}$