点A, B, Cの座標がそれぞれ(1, 2, 0), (-2, 0, 3), (0, 1, 1)と与えられている。 (1) 点Aの位置ベクトル $\vec{r_A}$ を $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ を用いて表す。 (2) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r}(t)$ を、$t=0$のときA, $t=1$のときBに対応するように、$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ を用いて表す。 (3) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r}(s)$ を、$s=0$のときAで、$s$ が線分APの長さに等しくなるように表す。

1. 問題の内容

点A, B, Cの座標がそれぞれ(1, 2, 0), (-2, 0, 3), (0, 1, 1)と与えられている。

(1) 点Aの位置ベクトル $\vec{r_A}$ を $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ を用いて表す。

(2) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r}(t)$ を、$t=0$のときA, $t=1$のときBに対応するように、$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ を用いて表す。

(3) 線分AB上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{r}(s)$ を、$s=0$のときAで、$s$ が線分APの長さに等しくなるように表す。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標が(1, 2, 0)なので、位置ベクトル $\vec{r_A}$ は

$\vec{r_A} = 1\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k} = \vec{i} + 2\vec{j}$

(2) 点Aの位置ベクトルを $\vec{a}$、点Bの位置ベクトルを $\vec{b}$ とすると、線分AB上の点Pの位置ベクトル $\vec{r}(t)$ は、

$\vec{r}(t) = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j}$

$\vec{b} = -2\vec{i} + 0\vec{j} + 3\vec{k} = -2\vec{i} + 3\vec{k}$

$\vec{r}(t) = (1-t)(\vec{i} + 2\vec{j}) + t(-2\vec{i} + 3\vec{k})$

$\vec{r}(t) = (1-t)\vec{i} + 2(1-t)\vec{j} -2t\vec{i} + 3t\vec{k}$

$\vec{r}(t) = (1-3t)\vec{i} + 2(1-t)\vec{j} + 3t\vec{k}$

$\vec{r}(t) = (-3\vec{i} -2\vec{j} +3\vec{k})t + (\vec{i} + 2\vec{j})$

(3) $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (-2\vec{i} + 3\vec{k}) - (\vec{i} + 2\vec{j}) = -3\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}$

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{9+4+9} = \sqrt{22}$

$t = \frac{s}{|\vec{AB}|} = \frac{s}{\sqrt{22}}$

$\vec{r}(s) = (1-\frac{s}{\sqrt{22}})\vec{a} + \frac{s}{\sqrt{22}}\vec{b} = (1-\frac{s}{\sqrt{22}})(\vec{i} + 2\vec{j}) + \frac{s}{\sqrt{22}}(-2\vec{i} + 3\vec{k})$

$\vec{r}(s) = \frac{s}{\sqrt{22}}(-3\vec{i} -2\vec{j} + 3\vec{k}) + (\vec{i} + 2\vec{j})$

$\vec{r}(s) = \frac{s}{\sqrt{22}}(-3\vec{i} -2\vec{j} + 3\vec{k}) + (\vec{i} + 2\vec{j})$

$\vec{r}(s) = \frac{1}{\sqrt{22}}s (-3\vec{i} -2\vec{j} + 3\vec{k}) + (\vec{i} + 2\vec{j})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{r_A} = \vec{i} + 2\vec{j}$

(2) $\vec{r}(t) = (-3\vec{i} -2\vec{j} +3\vec{k})t + (\vec{i} + 2\vec{j})$

(3) $\vec{r}(s) = \frac{1}{\sqrt{22}}s (-3\vec{i} -2\vec{j} + 3\vec{k}) + (\vec{i} + 2\vec{j})$