$xy$平面上に2つの円$C_1: x^2 + y^2 - 8x - 4y + 12 = 0$と$C_2: x^2 + y^2 - 10x + 10y + 12 = 0$がある。$C_1$, $C_2$の中心をそれぞれ$A_1$, $A_2$とし、$C_1$, $C_2$の半径をそれぞれ$r_1$, $r_2$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $A_1$, $A_2$の座標、および$r_1$, $r_2$の値をそれぞれ求めよ。 (2) $C_1$と$C_2$は異なる2点で交わることを示せ。 (3) $C_1$と$C_2$の2つの交点を$P$, $Q$とする。 (i) 直線$PQ$の方程式を求めよ。また、点$A_1$と直線$PQ$の距離を求めよ。 (ii) $C_1$に内接し、直線$PQ$に接する円を$C_3$とするとき、$C_3$の半径の最大値を求めよ。また、そのときの$C_3$の中心の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上に2つの円$C_1: x^2 + y^2 - 8x - 4y + 12 = 0$と$C_2: x^2 + y^2 - 10x + 10y + 12 = 0$がある。$C_1$, $C_2$の中心をそれぞれ$A_1$, $A_2$とし、$C_1$, $C_2$の半径をそれぞれ$r_1$, $r_2$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $A_1$, $A_2$の座標、および$r_1$, $r_2$の値をそれぞれ求めよ。

(2) $C_1$と$C_2$は異なる2点で交わることを示せ。

(3) $C_1$と$C_2$の2つの交点を$P$, $Q$とする。

(i) 直線$PQ$の方程式を求めよ。また、点$A_1$と直線$PQ$の距離を求めよ。

(ii) $C_1$に内接し、直線$PQ$に接する円を$C_3$とするとき、$C_3$の半径の最大値を求めよ。また、そのときの$C_3$の中心の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を平方完成して、中心と半径を求める。

$C_1: x^2 - 8x + y^2 - 4y + 12 = 0$

$(x-4)^2 - 16 + (y-2)^2 - 4 + 12 = 0$

$(x-4)^2 + (y-2)^2 = 8$

よって、中心$A_1(4, 2)$, 半径$r_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

$C_2: x^2 - 10x + y^2 + 10y + 12 = 0$

$(x-5)^2 - 25 + (y+5)^2 - 25 + 12 = 0$

$(x-5)^2 + (y+5)^2 = 38$

よって、中心$A_2(5, -5)$, 半径$r_2 = \sqrt{38}$.

(2) 2つの円の中心間の距離$d$を求め、$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$を満たすことを示す。

$d = \sqrt{(5-4)^2 + (-5-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$r_1 = 2\sqrt{2} \approx 2.83$, $r_2 = \sqrt{38} \approx 6.16$

$|r_1 - r_2| = |\sqrt{8} - \sqrt{38}| \approx |2.83 - 6.16| = 3.33$

$r_1 + r_2 = \sqrt{8} + \sqrt{38} \approx 2.83 + 6.16 = 8.99$

$3.33 < 5\sqrt{2} \approx 7.07 < 8.99$

よって、$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$が成り立つので、$C_1$と$C_2$は異なる2点で交わる。

(3) (i) 2つの円の交点を通る直線の方程式は、$C_1 - C_2 = 0$で求められる。

$(x^2 + y^2 - 8x - 4y + 12) - (x^2 + y^2 - 10x + 10y + 12) = 0$

$2x - 14y = 0$

$x - 7y = 0$

よって、直線$PQ$の方程式は$x - 7y = 0$。

点$A_1(4, 2)$と直線$x - 7y = 0$の距離$d_1$は、

$d_1 = \frac{|4 - 7(2)|}{\sqrt{1^2 + (-7)^2}} = \frac{|4 - 14|}{\sqrt{1 + 49}} = \frac{|-10|}{\sqrt{50}} = \frac{10}{5\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

(ii) $C_1$に内接し、直線$PQ$に接する円$C_3$の半径の最大値を求める。

$C_1$の中心$A_1(4,2)$から直線$x-7y=0$までの距離は$\sqrt{2}$である。

$C_3$が直線$PQ$に接することから、その中心は直線$x-7y=0$に平行な直線上にあり、$C_1$に内接することから、$C_3$の半径は最大で$r_1 + \sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$である。

このとき$C_3$は$C_1$に内接し$A_1$と$C_3$の中心と$C_3$と$C_1$の接点が一直線上にある。

$C_3$の中心を$(7t, t)$とすると、

$A_1C_3=r_1-r_3=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=-\sqrt{2}$

$(7t-4)^2+(t-2)^2=(2\sqrt{2}-3\sqrt{2})^2$

$49t^2-56t+16+t^2-4t+4=2$

$50t^2-60t+18=0$

$25t^2-30t+9=0$

$(5t-3)^2=0$

$t=\frac{3}{5}$

$C_3$の中心は$(\frac{21}{5},\frac{3}{5})$

3. 最終的な答え

(1) $A_1(4, 2)$, $A_2(5, -5)$, $r_1 = 2\sqrt{2}$, $r_2 = \sqrt{38}$.

(2) $C_1$と$C_2$は異なる2点で交わる（証明は上記参照）。

(3) (i) 直線$PQ$の方程式は$x - 7y = 0$。点$A_1$と直線$PQ$の距離は$\sqrt{2}$。

(ii) $C_3$の半径の最大値は$3\sqrt{2}$。そのときの$C_3$の中心の座標は$(\frac{21}{5}, \frac{3}{5})$。