二等辺三角形 $ABC$ があり、$AB = AC$, $BC = 1$, $\angle B = 2\theta$ である。$ABC$ に内接する円に接し、$BC$ に平行な直線が $AB$, $AC$ と交わる点を $D_1$, $E_1$ とし、$D_1 E_1 = a_1$ とする。同様に、三角形 $AD_1 E_1$ に内接する円に接し、$D_1 E_1$ に平行な直線が $AD_1$, $AE_1$ と交わる点を $D_2$, $E_2$ とし、$D_2 E_2 = a_2$ とする。この操作を繰り返すとき、$n$ 回目の操作で引くことができる線分 $D_n E_n$ の長さ $a_n$ と、無限等比級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ の和を $\cos B$ で表す問題を解く。

1. 問題の内容

二等辺三角形 $ABC$ があり、$AB = AC$, $BC = 1$, $\angle B = 2\theta$ である。$ABC$ に内接する円に接し、$BC$ に平行な直線が $AB$, $AC$ と交わる点を $D_1$, $E_1$ とし、$D_1 E_1 = a_1$ とする。同様に、三角形 $AD_1 E_1$ に内接する円に接し、$D_1 E_1$ に平行な直線が $AD_1$, $AE_1$ と交わる点を $D_2$, $E_2$ とし、$D_2 E_2 = a_2$ とする。この操作を繰り返すとき、$n$ 回目の操作で引くことができる線分 $D_n E_n$ の長さ $a_n$ と、無限等比級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ の和を $\cos B$ で表す問題を解く。

2. 解き方の手順

まず、$BC$ に平行な直線 $D_1 E_1$ を引くとき、$\triangle A D_1 E_1$ も二等辺三角形であり、$D_1 E_1$ は $BC$ に平行なので、$\angle A D_1 E_1 = \angle B = 2\theta$ である。

三角形 $ABC$ に内接する円と $AD_1E_1$ に内接する円は相似の位置にあるため、

$\frac{a_1}{1} = \frac{AD_1}{AB}$ となる。

また、$AD_1$ は三角形$ABC$ の内接円に接しているので、

$AD_1 = AB - \frac{r}{\tan \theta}$, $r$ は内接円の半径

同様に、$n$回目の操作で、$a_n$ は等比数列をなす。公比を $r$ とすると、$a_n = r a_{n-1}$となる。

$a_n = a_1^{n-1}$とおくと、$AD_n / AB = (a_1/1)^n$。

$a_n = a_1^{n-1}a_1 = a_1^n$が成り立つ。

まず、$a_1$を求める。$\triangle ABC$ において、$\angle B = \angle C = 2\theta$ なので、$\angle A = \pi - 4\theta$ である。

また、$AB = AC = 1$ なので、正弦定理より、

$\frac{1}{\sin(2\theta)} = \frac{1}{\sin(2\theta)} = \frac{1}{\sin(\pi - 4\theta)}$. したがって $BC = 1$

$\triangle ABC \sim \triangle A D_1 E_1$, よって、$\frac{D_1 E_1}{B C} = \frac{A D_1}{A B}$.

$a_1$ は $BC$ から、$D_1E_1$を引く操作を無限に繰り返すと考えて、$AB$ を $AD_1$ に縮める割合を考える。

この縮める割合は $\cos B$ に等しい。

ゆえに、$a_n = (\cos B)^n = (\cos(2\theta))^n$ となる。

$\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty (\cos(2\theta))^n = \frac{\cos(2\theta)}{1 - \cos(2\theta)}$

$\cos(2\theta) = \cos B$ とおくと、

$\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{\cos B}{1 - \cos B}$.

3. 最終的な答え

$a_n = (\cos B)^n$

$\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{\cos B}{1 - \cos B}$