3つの図において、与えられた条件から角度$\theta$を求める問題です。ATは円の接線であり、Aは接点です。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

3つの図において、与えられた条件から角度$\theta$を求める問題です。ATは円の接線であり、Aは接点です。

2. 解き方の手順

(1)

* 中心角$\angle AOB = 120^\circ$より、円周角$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 60^\circ$です。

* $\angle CAB = 40^\circ$より、$\angle ABC = 180^\circ - \angle ACB - \angle CAB = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ$です。

* 接弦定理より、$\angle BAT = \angle ACB = 60^\circ$です。

* $\angle EAT = 180^\circ - \angle BAT = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$です。

* 三角形EADについて、$\angle EAD + \angle EDA + \angle AED = 180^\circ$が成り立ちます。ここで、$\angle EDA = \angle ACB = 60^\circ$なので、$\angle AED = \theta = 180^\circ - \angle EAD - \angle EDA$

* ここで、$\angle EAD = \angle EAT = 120^\circ$であるから$\theta = 180^\circ - \angle EAT = 180^\circ - 120^\circ= 20^\circ$となります。

(2)

* $\stackrel{\frown}{BC} = \stackrel{\frown}{CD}$より、$\angle BAC = \angle CAD$。

* $\angle ABC = 28^\circ$より、接弦定理から$\angle CAD = 28^\circ$。

* したがって、$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 28^\circ + 28^\circ = 56^\circ$。

* 四角形ABCDにおいて、$\angle DCB = 180^\circ - \angle BAD - \theta - 46^\circ$。

* ここで、$\angle DCB = 180^\circ - 56^\circ - \theta - 46^\circ= 78^\circ - \theta$。

* 接弦定理より $\angle ABC = \angle DAC=28^\circ$。$\angle BAC = \angle CAD = 28^\circ$.

* 四角形ABCDは円に内接するので$\angle DCB+\angle DAB = 180^\circ$。$\angle DCB=180^\circ - (\theta + 46+28)=106-\theta$.

$106-\theta + 28+28=180$.

$\theta=106+28+28-180=82-180=-18$.

* $\angle DAB+\angle DCB=180^\circ$.

$46 + \theta + 2*28 = 180$, $46 + \theta = \angle DAB$.

$\theta=180-46 - 56 = 78^\circ$.

* $\theta = 180^\circ -46 -2\times28 = 180-102=78^\circ$.

(3)

* 接弦定理より、$\angle EAT = \angle BCA = 48^\circ$。

* 四角形BCDEは円に内接するので、$\angle BCD + \angle BED = 180^\circ$。

* $\angle BED = 115^\circ + 48^\circ = 163^\circ$なので、$\angle BCD = \theta = 180^\circ - 163^\circ = 17^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 20^\circ$

(2) $\theta = 78^\circ$

(3) $\theta = 17^\circ$