$\alpha$が鋭角で、$\cos \alpha = \frac{1}{4}$のとき、$\sin \alpha$と$\tan \alpha$の値を求めます。

1. 問題の内容

$\alpha$が鋭角で、$\cos \alpha = \frac{1}{4}$のとき、$\sin \alpha$と$\tan \alpha$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$を利用して$\sin \alpha$を求めます。

$\cos \alpha = \frac{1}{4}$を代入すると、

$$\sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1$$

$$\sin^2 \alpha + \frac{1}{16} = 1$$

$$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16}$$

$$\sin^2 \alpha = \frac{15}{16}$$

$\alpha$は鋭角なので、$\sin \alpha > 0$であるから、

$$\sin \alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

次に、$\tan \alpha$を求めます。$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$の関係を利用します。

$$\tan \alpha = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}}$$

$$\tan \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{4}{1}$$

$$\tan \alpha = \sqrt{15}$$

3. 最終的な答え

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan \alpha = \sqrt{15}$