$\alpha$ が鈍角で、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\cos \alpha$ と $\tan \alpha$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\alpha$ が鈍角で、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\cos \alpha$ と $\tan \alpha$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ を利用して $\cos \alpha$ を求めます。

$\sin \alpha = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$(\frac{2}{3})^2 + \cos^2 \alpha = 1$

$\frac{4}{9} + \cos^2 \alpha = 1$

$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9}$

$\cos^2 \alpha = \frac{5}{9}$

$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}}$

$\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

ここで、$\alpha$ は鈍角なので、$90^\circ < \alpha < 180^\circ$ です。この範囲では $\cos \alpha < 0$ となるので、

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\tan \alpha$ を求めるために、$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ の関係式を利用します。

$\tan \alpha = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}$

$\tan \alpha = \frac{2}{3} \times \frac{3}{-\sqrt{5}}$

$\tan \alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$

分母の有理化を行うと、

$\tan \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$