$z$ を 0 でない複素数、$n$ を整数とします。$z + \frac{1}{z}$ が実数ならば、$z^n + \frac{1}{z^n}$ も実数となることを示してください。$n=0$, $n$ が正の整数, $n$ が負の整数の場合に分けて答えます。

1. 問題の内容

$z$ を 0 でない複素数、$n$ を整数とします。$z + \frac{1}{z}$ が実数ならば、$z^n + \frac{1}{z^n}$ も実数となることを示してください。$n=0$, $n$ が正の整数, $n$ が負の整数の場合に分けて答えます。

2. 解き方の手順

(1) $n=0$ の場合:

$z^0 + \frac{1}{z^0} = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$ となり、これは実数です。

(2) $n$ が正の整数の場合:

数学的帰納法で証明します。

$z + \frac{1}{z}$ が実数であることを仮定します。

$n=1$ のとき、$z^1 + \frac{1}{z^1} = z + \frac{1}{z}$ は実数です。

$n=k$ のとき、$z^k + \frac{1}{z^k}$ が実数であると仮定します。つまり、$z^k + \frac{1}{z^k} = a$ （$a$は実数）とします。

$n=k+1$ のとき、$z^{k+1} + \frac{1}{z^{k+1}}$ が実数であることを示します。

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\left(z + \frac{1}{z}\right) \left(z^k + \frac{1}{z^k}\right) = z^{k+1} + \frac{1}{z^{k-1}} + z^{1-k} + \frac{1}{z^{k+1}}

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\left(z + \frac{1}{z}\right) \left(z^k + \frac{1}{z^k}\right) = z^{k+1} + \frac{1}{z^{k+1}} + z^{1-k} + \frac{1}{z^{1-k}}

$$$$

$$$$

\left(z + \frac{1}{z}\right) \left(z^k + \frac{1}{z^k}\right) = z^{k+1} + \frac{1}{z^{k+1}} + \left(z^{1-k} + \frac{1}{z^{1-k}}\right)

$$$$

よって、

$$$$

z^{k+1} + \frac{1}{z^{k+1}} = \left(z + \frac{1}{z}\right) \left(z^k + \frac{1}{z^k}\right) - \left(z^{1-k} + \frac{1}{z^{1-k}}\right)

$$$$

$z + \frac{1}{z}$ は実数、$z^k + \frac{1}{z^k}$ は実数であるという仮定から、$\left(z + \frac{1}{z}\right) \left(z^k + \frac{1}{z^k}\right)$ は実数です。

ここで、$z + \frac{1}{z} = x$ ($x$ は実数) とすると、

$z^2 - xz + 1 = 0$

$z = \frac{x \pm \sqrt{x^2 - 4}}{2}$

$z$ が実数のとき、$z^{1-k} + \frac{1}{z^{1-k}}$ も実数。

$z$ が虚数のとき、$z^{1-k} + \frac{1}{z^{1-k}} = z^{1-k} + \bar{z}^{k-1}$

$z^{1-k} + \frac{1}{z^{1-k}} = \overline{z^{k-1} + \frac{1}{z^{k-1}}} = z^{k-1} + \frac{1}{z^{k-1}} = z^{1-k} + \frac{1}{z^{1-k}}$

$z^{k+1} + \frac{1}{z^{k+1}}$ も実数です。

$n=1$ のとき成り立ち、$n=k$ のとき成り立つと仮定すると $n=k+1$ のときも成り立つので、数学的帰納法により、$n$ が正の整数のとき $z^n + \frac{1}{z^n}$ は実数です。

(3) $n$ が負の整数の場合:

$n = -m$ ($m$ は正の整数) とします。

$z^n + \frac{1}{z^n} = z^{-m} + \frac{1}{z^{-m}} = \frac{1}{z^m} + z^m = z^m + \frac{1}{z^m}$

$m$ は正の整数なので、(2) より $z^m + \frac{1}{z^m}$ は実数です。

したがって、$z^n + \frac{1}{z^n}$ も実数です。

3. 最終的な答え

$z + \frac{1}{z}$ が実数ならば、$z^n + \frac{1}{z^n}$ も実数となる。

$n=0$ の場合：実数である (2)

$n$ が正の整数の場合：実数である (2)

$n$ が負の整数の場合：実数である (3)