$\alpha$ が鈍角で $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ のとき、$\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\alpha$ が鈍角で $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ のとき、$\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \alpha$ の定義から、$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ であることを利用します。

また、$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ という三角関数の基本的な恒等式を利用します。

$\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ なので、$\sin \alpha = -\frac{3}{4} \cos \alpha$ となります。

これを $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ に代入すると、

$(-\frac{3}{4} \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1$

$\frac{9}{16} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$\frac{25}{16} \cos^2 \alpha = 1$

$\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$

$\cos \alpha = \pm \frac{4}{5}$

$\alpha$ は鈍角なので、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ です。この範囲では $\cos \alpha < 0$ なので、

$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$

次に、$\sin \alpha$ を求めます。

$\sin \alpha = -\frac{3}{4} \cos \alpha$ に $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ を代入すると、

$\sin \alpha = -\frac{3}{4} (-\frac{4}{5}) = \frac{3}{5}$

$\alpha$ は鈍角なので、$\sin \alpha > 0$ です。$\sin \alpha = \frac{3}{5}$ は条件を満たしています。

3. 最終的な答え

$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$

$\sin \alpha = \frac{3}{5}$