以下の4つの問題について、ベクトルを利用して円または直線の方程式を求める問題です。 (1) 中心O(0,0), 半径2の円 (2) 中心C(3,2), 半径√5 の円 (3) 2点A(1,4), B(3,0)を直径の両端とする円 (4) 中心C(1,1), 半径√2 の円に、点O(0,0)で接する直線

1. 問題の内容

以下の4つの問題について、ベクトルを利用して円または直線の方程式を求める問題です。

(1) 中心O(0,0), 半径2の円

(2) 中心C(3,2), 半径√5 の円

(3) 2点A(1,4), B(3,0)を直径の両端とする円

(4) 中心C(1,1), 半径√2 の円に、点O(0,0)で接する直線

2. 解き方の手順

(1) 中心O(0,0), 半径2の円

円上の任意の点をP(x,y)とする。$\vec{OP} = (x,y)$

$|\vec{OP}| = 2$

$|\vec{OP}|^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 4$

(2) 中心C(3,2), 半径√5 の円

円上の任意の点をP(x,y)とする。$\vec{CP} = (x-3, y-2)$

$|\vec{CP}| = \sqrt{5}$

$|\vec{CP}|^2 = 5$

$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$

(3) 2点A(1,4), B(3,0)を直径の両端とする円

円上の任意の点をP(x,y)とする。$\vec{AP} = (x-1, y-4)$, $\vec{BP} = (x-3, y-0)$

$\vec{AP} \cdot \vec{BP} = 0$

$(x-1)(x-3) + (y-4)(y) = 0$

$x^2 -4x + 3 + y^2 - 4y = 0$

$x^2 - 4x + y^2 - 4y + 3 = 0$

(4) 中心C(1,1), 半径√2 の円に、点O(0,0)で接する直線

直線上の任意の点をP(x,y)とする。$\vec{OC} = (1,1)$は接線に垂直。

$\vec{OP} = (x,y)$

$\vec{OC} \cdot \vec{OP} = 0$

$(1)(x) + (1)(y) = 0$

$x + y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 4$

(2) $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$

(3) $x^2 - 4x + y^2 - 4y + 3 = 0$

(4) $x + y = 0$