$\alpha$が鋭角で、$\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha$が成り立つとき、$\sin\alpha$と$\cos\alpha$の値を求めます。

1. 問題の内容

$\alpha$が鋭角で、$\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha$が成り立つとき、$\sin\alpha$と$\cos\alpha$の値を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1：$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$という三角関数の基本公式を使います。

ステップ2：$\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha$を2乗すると、$\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha$となります。

ステップ3：ステップ2の結果をステップ1の式に代入します。

$2\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

$3\cos^2\alpha = 1$

$\cos^2\alpha = \frac{1}{3}$

ステップ4：$\alpha$は鋭角なので、$\cos\alpha > 0$です。したがって、$\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$となります。

ステップ5：$\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha$に$\cos\alpha$の値を代入します。

$\sin\alpha = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$となります。

3. 最終的な答え

$\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$