$\sqrt[4]{256\sqrt[4]{729}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt[4]{256\sqrt[4]{729}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、内側の根号 $\sqrt[4]{729}$ を簡略化します。

$729$ は $3^6$ と表せるので、

$$\sqrt[4]{729} = \sqrt[4]{3^6} = 3^{\frac{6}{4}} = 3^{\frac{3}{2}} = 3 \sqrt{3}$$

次に、これを元の式に代入します。

$$\sqrt[4]{256 \sqrt[4]{729}} = \sqrt[4]{256 \cdot 3 \sqrt{3}} = \sqrt[4]{256 \cdot 3 \cdot 3^{1/2}} = \sqrt[4]{256 \cdot 3^{3/2}} = \sqrt[4]{256 \cdot 3 \sqrt{3}}$$

$256 = 2^8$ であることを利用すると、

$$\sqrt[4]{256 \cdot 3\sqrt{3}} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 3^{3/2}} = 2^{8/4} \cdot 3^{3/8} = 2^2 \cdot 3^{3/8} = 4 \sqrt[8]{3^3} = 4 \sqrt[8]{27}$$

しかし、問題文に誤りがある可能性があります。$\sqrt[4]{729}$の計算間違いがないか確認しました。729は$3^6$なので$\sqrt[4]{729}=3^{6/4}=3^{3/2}=3\sqrt{3}$で正しいです。

問題文が、$\sqrt[4]{256}\sqrt[4]{729}$だった場合は、

$\sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{2^8} = 2^{8/4} = 2^2 = 4$

$\sqrt[4]{729} = 3 \sqrt{3}$

従って、$\sqrt[4]{256}\sqrt[4]{729} = 4 \cdot 3 \sqrt{3} = 12\sqrt{3}$.

与えられた式を別の解釈で行います。それは、 $\sqrt[4]{256\sqrt[4]{729}}$ではなく、 $\sqrt[4]{256} \cdot \sqrt[4]{729}$であるとします。この場合、

$\sqrt[4]{256} = 4$

$\sqrt[4]{729} = \sqrt[4]{3^6} = 3^{6/4} = 3^{3/2} = 3\sqrt{3}$

したがって、$\sqrt[4]{256} \sqrt[4]{729} = 4 \cdot 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$となります。

3. 最終的な答え

問題文の通りに計算すると $4\sqrt[8]{27}$

問題文が $\sqrt[4]{256} \cdot \sqrt[4]{729}$ であれば、$12\sqrt{3}$