2つの直線 $x-y+3=0$ (①) と $mx-y-n=0$ (②) について、以下の2つの問題に答えます。 (1) 直線②が直線①と平行で、点 (2, -3) を通るとき、定数 $m, n$ の値を求めます。 (2) 直線②が直線①に垂直で、①と②の交点の $x$ 座標が負の値になるような定数 $n$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $x-y+3=0$ (①) と $mx-y-n=0$ (②) について、以下の2つの問題に答えます。

(1) 直線②が直線①と平行で、点 (2, -3) を通るとき、定数 $m, n$ の値を求めます。

(2) 直線②が直線①に垂直で、①と②の交点の $x$ 座標が負の値になるような定数 $n$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* 直線①と直線②が平行であるとき、それぞれの直線の傾きは等しくなります。

直線①の式を変形すると $y = x + 3$ となり、傾きは1です。

直線②の式を変形すると $y = mx - n$ となり、傾きは $m$ です。

したがって、$m = 1$ となります。

* 直線②が点 (2, -3) を通るとき、$mx - y - n = 0$ に $x = 2, y = -3, m=1$ を代入すると、

$2 - (-3) - n = 0$ となります。

これを解くと、$2 + 3 - n = 0$ より、$n = 5$ となります。

(2)

* 直線①と直線②が垂直であるとき、それぞれの直線の傾きの積は-1になります。

直線①の傾きは1であり、直線②の傾きは $m$ です。したがって、$m \times 1 = -1$ より、$m = -1$ となります。

このとき、直線②の式は $-x - y - n = 0$ つまり $x + y + n = 0$ となります。

* 2直線の交点の座標を求めるために、2つの直線の方程式を連立させます。

$x - y + 3 = 0$ (①)

$x + y + n = 0$ (②)

① + ② より $2x + n + 3 = 0$ となり、$x = -\frac{n+3}{2}$ となります。

問題文より、$x$ 座標が負の値になる必要があるため、$x < 0$ です。

$-\frac{n+3}{2} < 0$ より、$n+3 > 0$ となります。

したがって、$n > -3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $m = 1, n = 5$

(2) $n > -3$