白球7個と赤球3個が入っている袋から、同時に3個の球を取り出すとき、含まれる白球の個数の期待値を求める問題です。

1. 問題の内容

白球7個と赤球3個が入っている袋から、同時に3個の球を取り出すとき、含まれる白球の個数の期待値を求める問題です。

2. 解き方の手順

白球の個数を$X$とすると、$X$が取りうる値は0, 1, 2, 3です。それぞれの確率を計算し、期待値を求めます。

* 3個の球の取り出し方は全部で $_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ 通りです。

* $X = 0$ (白球が0個)：赤球3個を取り出す確率は $\frac{_3C_3}{_{10}C_3} = \frac{1}{120}$ です。

* $X = 1$ (白球が1個)：白球1個と赤球2個を取り出す確率は $\frac{_7C_1 \times _3C_2}{_{10}C_3} = \frac{7 \times 3}{120} = \frac{21}{120}$ です。

* $X = 2$ (白球が2個)：白球2個と赤球1個を取り出す確率は $\frac{_7C_2 \times _3C_1}{_{10}C_3} = \frac{\frac{7 \times 6}{2} \times 3}{120} = \frac{21 \times 3}{120} = \frac{63}{120}$ です。

* $X = 3$ (白球が3個)：白球3個を取り出す確率は $\frac{_7C_3}{_{10}C_3} = \frac{\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}}{120} = \frac{35}{120}$ です。

期待値$E(X)$は、それぞれの確率に白球の個数をかけたものの和で求められます。

$E(X) = 0 \times \frac{1}{120} + 1 \times \frac{21}{120} + 2 \times \frac{63}{120} + 3 \times \frac{35}{120}$

$E(X) = \frac{0 + 21 + 126 + 105}{120} = \frac{252}{120} = \frac{63}{30} = \frac{21}{10} = 2.1$

3. 最終的な答え

含まれる白球の個数の期待値は $\frac{21}{10}$ または 2.1 です。