ある工場で生産している電球の中から800個を無作為抽出して検査したところ、不良品が32個あった。この製品全体の不良率を信頼度95%で推定する問題です。求められているのは信頼区間です。

1. 問題の内容

ある工場で生産している電球の中から800個を無作為抽出して検査したところ、不良品が32個あった。この製品全体の不良率を信頼度95%で推定する問題です。求められているのは信頼区間です。

2. 解き方の手順

1. 不良率 $R$ を計算します。$R = \frac{32}{800} = 0.04$

2. 信頼区間を計算するための式を確認します。信頼区間は、$[R - 1.96\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}, R + 1.96\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}]$ で求められます。

3. $1.96\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}$ の部分を計算します。

$1.96\sqrt{\frac{0.04(1-0.04)}{800}} = 1.96\sqrt{\frac{0.04 \times 0.96}{800}}$

$= 1.96\sqrt{\frac{0.0384}{800}} = 1.96\sqrt{0.000048} \approx 1.96 \times 0.006928 \approx 0.013578 \approx 0.014$

4. 信頼区間を計算します。

$[0.04 - 0.014, 0.04 + 0.014] = [0.026, 0.054]$

3. 最終的な答え

この製品全体の不良率の95%信頼区間は、$[0.026, 0.054]$ です。