AとBの2つのチームが野球の試合を行い、先に4勝したチームが優勝とする。1回の試合でAが勝つ確率は $1/3$ であり、引き分けは起こらない。このとき、Aが優勝する確率を求めよ。

1. 問題の内容

AとBの2つのチームが野球の試合を行い、先に4勝したチームが優勝とする。1回の試合でAが勝つ確率は $1/3$ であり、引き分けは起こらない。このとき、Aが優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

Aが優勝する確率を求めるには、Aが4勝0敗、4勝1敗、4勝2敗、4勝3敗で優勝する場合の確率をそれぞれ計算し、それらを合計すればよい。

各試合は独立であることに注意する。

* Aが4勝0敗で優勝する場合：

確率は $(1/3)^4 = 1/81$

* Aが4勝1敗で優勝する場合：

Aが4勝1敗で優勝するのは、最後の試合でAが勝ち、それまでの4試合でAが3勝1敗となる場合である。

4試合でAが3勝1敗となる確率は、二項分布より $_4C_3 (1/3)^3 (2/3)^1 = 4 \times (1/27) \times (2/3) = 8/81$ である。

したがって、Aが4勝1敗で優勝する確率は $(8/81) \times (1/3) = 8/243$

* Aが4勝2敗で優勝する場合：

Aが4勝2敗で優勝するのは、最後の試合でAが勝ち、それまでの5試合でAが3勝2敗となる場合である。

5試合でAが3勝2敗となる確率は、二項分布より $_5C_3 (1/3)^3 (2/3)^2 = 10 \times (1/27) \times (4/9) = 40/243$ である。

したがって、Aが4勝2敗で優勝する確率は $(40/243) \times (1/3) = 40/729$

* Aが4勝3敗で優勝する場合：

Aが4勝3敗で優勝するのは、最後の試合でAが勝ち、それまでの6試合でAが3勝3敗となる場合である。

6試合でAが3勝3敗となる確率は、二項分布より $_6C_3 (1/3)^3 (2/3)^3 = 20 \times (1/27) \times (8/27) = 160/729$ である。

したがって、Aが4勝3敗で優勝する確率は $(160/729) \times (1/3) = 160/2187$

Aが優勝する確率は、これらの確率の合計である。

$\frac{1}{81} + \frac{8}{243} + \frac{40}{729} + \frac{160}{2187} = \frac{27 + 24 + 40 + 160}{2187} = \frac{251}{2187}$

3. 最終的な答え

Aが優勝する確率は $251/2187$ である。